1. Prove as Fórmulas de Frenet para curvas planas: \mathbf{t}^{\prime}(s)=\kappa(s) \mathbf{n}(s) e \mathbf{n}^{\prime}(s)=-\kappa(s) \mathbf{t}(s).

Passo 1

O enunciado pede para provar duas fórmulas para uma curva plana parametrizada por comprimento de arco s:
  • Mostrar que \mathbf{t}^{\prime}(s)=\kappa(s)\,\mathbf{n}(s).
  • Mostrar que \mathbf{n}^{\prime}(s)=-\kappa(s)\,\mathbf{t}(s).
Informações/hipóteses que vamos usar (todas vêm do enunciado implícito de curvas em plano e da definição natural das quantidades):
  • A curva está parametrizada por comprimento de arco s. Isso significa que a função de posição \boldsymbol{\gamma}(s) satisfaz \|\boldsymbol{\gamma}'(s)\|=1 para todo s considerado.
  • A unidade tangente é \mathbf{t}(s)=\boldsymbol{\gamma}'(s).
  • A curvatura \kappa(s) será tomada como \kappa(s)=\|\mathbf{t}'(s)\| (assumindo \kappa(s)\neq 0 quando necessário).
  • O vetor normal principal é \mathbf{n}(s)=\dfrac{\mathbf{t}'(s)}{\|\mathbf{t}'(s)\|} quando \kappa(s)\neq 0.
  • Vamos assumir as propriedades usuais de derivação (derivada do produto escalar etc.).

Passo 2

Entendendo as definições e impostando o objetivo passo a passo.
Pequena aula: o que é \mathbf{t}(s), \mathbf{n}(s) e \kappa(s)?
  • \mathbf{t}(s) é um vetor de comprimento 1 que aponta na direção da velocidade da curva: \mathbf{t}(s)=\boldsymbol{\gamma}'(s). A condição de parametrização por comprimento de arco garante \|\mathbf{t}(s)\|=1.
  • A curvatura \kappa(s) mede quão “curva” está a curva naquele ponto; uma definição natural é
\kappa(s)=\|\mathbf{t}'(s)\|.
Essa definição faz sentido porque \mathbf{t}'(s) descreve como a direção do vetor tangente muda com s; a magnitude dessa mudança é justamente a curvatura.
  • O vetor normal unitário (principal) é definido, quando \kappa(s)\neq 0, por
\mathbf{n}(s)=\frac{\mathbf{t}'(s)}{\kappa(s)}.
Assim \mathbf{n}(s) tem comprimento 1 e aponta na direção da variação do tangente.
Vou agora derivar as fórmulas pedidas usando apenas essas definições e propriedades elementares de derivadas e produto escalar.

Passo 3

Provar primeiro que \mathbf{t}'(s) é ortogonal a \mathbf{t}(s).
Explicação e cálculo: como \mathbf{t}(s) é unitário temos
\|\mathbf{t}(s)\|^2=\mathbf{t}(s)\cdot\mathbf{t}(s)=1.
Derivando ambos os lados em relação a s (regra da derivada do produto escalar),
\frac{d}{ds}\big(\mathbf{t}\cdot\mathbf{t}\big)=2\,\mathbf{t}\cdot\mathbf{t}'=0.
Logo
\mathbf{t}(s)\cdot\mathbf{t}'(s)=0.
Isto significa que \mathbf{t}'(s) é ortogonal a \mathbf{t}(s) para todo s. Intuitivamente: a derivada de um vetor unitário só pode mudar a direção, não o comprimento, então a variação está perpendicular ao próprio vetor.

Passo 4

Definir \kappa e \mathbf{n} e provar \mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s).
Já dissemos que \kappa(s)=\|\mathbf{t}'(s)\|. Se \kappa(s)\neq 0 então podemos definir
\mathbf{n}(s)=\frac{\mathbf{t}'(s)}{\kappa(s)}.
Por construção \mathbf{n}(s) tem norma 1 e é ortogonal a \mathbf{t}(s). Reescrevendo a definição de \mathbf{n}(s) obtemos imediatamente a primeira fórmula de Frenet:
\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\,\mathbf{n}(s).
Comentário didático: isso é quase apenas “definição reorganizada”: \mathbf{t}' é um vetor ortogonal ao tangente, sua magnitude é \kappa, e \mathbf{n} é a sua direção unitária.

Passo 5

Provar que \mathbf{n}'(s)=-\kappa(s)\mathbf{t}(s).
Estratégia: usar as relações de ortonormalidade entre \mathbf{t} e \mathbf{n} e derivá‑las.
  1. Como \mathbf{n}(s) tem norma 1, segue que
\mathbf{n}(s)\cdot\mathbf{n}(s)=1\quad\Rightarrow\quad \mathbf{n}'(s)\cdot\mathbf{n}(s)=0.
Portanto \mathbf{n}'(s) é ortogonal a \mathbf{n}(s).
  1. Ademais, \mathbf{n}(s) é ortogonal a \mathbf{t}(s), então
\mathbf{n}(s)\cdot\mathbf{t}(s)=0.
Derivando esta igualdade em s (produto escalar),
\frac{d}{ds}\big(\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}\big)=\mathbf{n}'\cdot\mathbf{t}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}'=0.
Substituindo \mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n} (já provado no passo anterior),
\mathbf{n}'(s)\cdot\mathbf{t}(s)+\mathbf{n}(s)\cdot\big(\kappa(s)\mathbf{n}(s)\big)=0.
Como \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}=1, obtemos
\mathbf{n}'(s)\cdot\mathbf{t}(s)+\kappa(s)=0,
portanto
\mathbf{n}'(s)\cdot\mathbf{t}(s)=-\kappa(s).
  1. Agora combinamos as informações: \mathbf{n}'(s) é ortogonal a \mathbf{n}(s) (item 1) e tem produto escalar com \mathbf{t}(s) igual a -\kappa(s) (item 2). Num plano qualquer vetor ortogonal a \mathbf{n} é paralelo a \mathbf{t}. Assim \mathbf{n}'(s) é múltiplo de \mathbf{t}(s). Escrevendo esse múltiplo como coeficiente a(s),
\mathbf{n}'(s)=a(s)\,\mathbf{t}(s).
Tomando produto escalar com \mathbf{t}(s) em ambos os lados,
\mathbf{n}'(s)\cdot\mathbf{t}(s)=a(s)\,\big(\mathbf{t}(s)\cdot\mathbf{t}(s)\big)=a(s).
Mas já vimos que \mathbf{n}'(s)\cdot\mathbf{t}(s)=-\kappa(s). Portanto a(s)=-\kappa(s) e obtemos
\boxed{\mathbf{n}'(s)=-\kappa(s)\,\mathbf{t}(s).}

Passo 6

Resumo e exemplo prático (para fixar a intuição).
Resumo das ideias-chave:
  • A parametrização por comprimento de arco dá \|\mathbf{t}\|=1, daí \mathbf{t}\cdot\mathbf{t}'=0: a variação do tangente é perpendicular ao próprio tangente.
  • A curvatura é a magnitude dessa variação: \kappa=\|\mathbf{t}'\|.
  • O vetor normal unitário é a direção dessa variação: \mathbf{n}=\mathbf{t}'/\kappa. Assim \mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n}.
  • Diferenciando a ortogonalidade \mathbf{n}\cdot\mathbf{t}=0 e usando \mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n} resulta em \mathbf{n}'\cdot\mathbf{t}=-\kappa; como \mathbf{n}' é ortogonal a \mathbf{n}, ele só pode ser múltiplo de \mathbf{t}; daí \mathbf{n}'=-\kappa\mathbf{t}.
Exemplo simples: círculo de raio R. Parametrizando por comprimento de arco \boldsymbol{\gamma}(s)=\big(R\cos(s/R),\,R\sin(s/R)\big) tem-se
\mathbf{t}(s)=\boldsymbol{\gamma}'(s)=\big(-\sin(s/R),\,\cos(s/R)\big),
\mathbf{t}'(s)=\big(-\tfrac{1}{R}\cos(s/R),\,-\tfrac{1}{R}\sin(s/R)\big),
logo \kappa=\|\mathbf{t}'\|=1/R e \mathbf{n}(s)=\dfrac{\mathbf{t}'(s)}{\kappa}=-\big(\cos(s/R),\,\sin(s/R)\big). Assim \mathbf{t}'=\kappa\mathbf{n} e derivando \mathbf{n} obtém-se \mathbf{n}'=-\kappa\mathbf{t}, conferindo as fórmulas.

Resposta

\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\,\mathbf{n}(s)
\mathbf{n}'(s)=-\kappa(s)\,\mathbf{t}(s)

Exercícios relacionados