- Prove as Fórmulas de Frenet para curvas planas:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar duas fórmulas para uma curva plana parametrizada por comprimento de arco
:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Informações/hipóteses que vamos usar (todas vêm do enunciado implícito de curvas em plano e da definição natural das quantidades):
- A curva está parametrizada por comprimento de arco
. Isso significa que a função de posição satisfaz para todo considerado. - A unidade tangente é
. - A curvatura
será tomada como (assumindo quando necessário). - O vetor normal principal é
quando . - Vamos assumir as propriedades usuais de derivação (derivada do produto escalar etc.).
Passo 2
Entendendo as definições e impostando o objetivo passo a passo.
Pequena aula: o que é
,
e
?
-
é um vetor de comprimento que aponta na direção da velocidade da curva: . A condição de parametrização por comprimento de arco garante . - A curvatura
mede quão “curva” está a curva naquele ponto; uma definição natural é
Essa definição faz sentido porque
descreve como a direção do vetor tangente muda com
; a magnitude dessa mudança é justamente a curvatura.
- O vetor normal unitário (principal) é definido, quando
, por
Assim
tem comprimento
e aponta na direção da variação do tangente.
Vou agora derivar as fórmulas pedidas usando apenas essas definições e propriedades elementares de derivadas e produto escalar.
Passo 3
Provar primeiro que
é ortogonal a
.
Explicação e cálculo: como
é unitário temos
Derivando ambos os lados em relação a
(regra da derivada do produto escalar),
Logo
Isto significa que
é ortogonal a
para todo
. Intuitivamente: a derivada de um vetor unitário só pode mudar a direção, não o comprimento, então a variação está perpendicular ao próprio vetor.
Passo 4
Definir
e
e provar
.
Já dissemos que
. Se
então podemos definir
Por construção
tem norma
e é ortogonal a
. Reescrevendo a definição de
obtemos imediatamente a primeira fórmula de Frenet:
Comentário didático: isso é quase apenas “definição reorganizada”:
é um vetor ortogonal ao tangente, sua magnitude é
, e
é a sua direção unitária.
Passo 5
Provar que
.
Estratégia: usar as relações de ortonormalidade entre
e
e derivá‑las.
- Como
tem norma , segue que
Portanto
é ortogonal a
.
- Ademais,
é ortogonal a , então
Derivando esta igualdade em
(produto escalar),
Substituindo
(já provado no passo anterior),
Como
, obtemos
portanto
- Agora combinamos as informações:
é ortogonal a (item 1) e tem produto escalar com igual a (item 2). Num plano qualquer vetor ortogonal a é paralelo a . Assim é múltiplo de . Escrevendo esse múltiplo como coeficiente ,
Tomando produto escalar com
em ambos os lados,
Mas já vimos que
. Portanto
e obtemos
Passo 6
Resumo e exemplo prático (para fixar a intuição).
Resumo das ideias-chave:
- A parametrização por comprimento de arco dá
, daí : a variação do tangente é perpendicular ao próprio tangente. - A curvatura é a magnitude dessa variação:
. - O vetor normal unitário é a direção dessa variação:
. Assim . - Diferenciando a ortogonalidade
e usando resulta em ; como é ortogonal a , ele só pode ser múltiplo de ; daí .
Exemplo simples: círculo de raio
. Parametrizando por comprimento de arco
tem-se
logo
e
. Assim
e derivando
obtém-se
, conferindo as fórmulas.