Considere a curva alpha(t)=(3 sen t, 1-5 cos t,-4 sen t) ; t >= 0.
Obtenha os vetores T(t), N(t) e B(t);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por uma função vetorial:
alpha(t) = (3 sin t, , 1 - 5 cos t, , -4 sin t), t >= 0
O que precisamos encontrar são três vetores importantes nessa curva: o vetor tangente $ T(t) $, o vetor normal $ N(t) $ e o binormal $ B(t) $. Esses vetores formam o que chamamos de base de Frenet, que descreve a orientação da curva no espaço.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente $ T(t) $. Esse vetor indica a direção em que a curva está seguindo naquele ponto específico.
Para isso, precisamos derivar a função $ \alpha(t) $ em relação a $ t $ para obter a velocidade da curva:
T(t)
Calculando cada componente:
alpha(t)

Passo 3

Agora, para obter o vetor tangente unitário $ T(t) $, precisamos normalizar $ \alpha’(t) $. Isso significa dividir $ \alpha’(t) $ pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de $ \alpha’(t) $:
T(t)
Simplificando:
alpha'(t)
Então, o vetor tangente unitário é:
alpha'(t)

Passo 4

Agora vamos encontrar o vetor normal $ N(t) $. Esse vetor aponta na direção da mudança na direção da curva.
Primeiro, precisamos derivar $ T(t) $ em relação a $ t $:
N(t)
Calculando cada componente:
T(t)
Agora, normalizamos $ T’(t) $ para obter $ N(t) $:
Primeiro, calculamos o módulo de $ T’(t) $:
t
Simplificando:
T'(t) = ( ddt[35 cos t], , ddt[sin t], , ddt[-45 cos t] )
Então, o vetor normal unitário é:
T'(t) = ( -35 sin t, , cos t, , 45 sin t )

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o vetor binormal $ B(t) $. Esse vetor é perpendicular tanto a $ T(t) $ quanto a $ N(t) $ e completa a base de Frenet.
Para isso, usamos o produto vetorial entre $ T(t) $ e $ N(t) $:
B(t)
Vamos calcular o produto vetorial:
T(t)
N(t)
O produto vetorial é dado por:
T(t)
Calculando o determinante:
N(t)
Simplificando cada componente:
B(t) = T(t) times N(t)
T(t) = ( 35 cos t, , sin t, , -45 cos t )
N(t) = ( -35 sin t, , cos t, , 45 sin t )

Resposta

Então, os vetores da base de Frenet para a curva dada são:
T(t) = ( 35 cos t, , sin t, , -45 cos t )
N(t) = ( -35 sin t, , cos t, , 45 sin t )
B(t) = ( 45, , 0, , 35 )

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