Considere a curva
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Obtenha os vetores
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Obtenha os vetores
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por uma função vetorial:
O que precisamos encontrar são três vetores importantes nessa curva: o vetor tangente $ T(t) $, o vetor normal $ N(t) $ e o binormal $ B(t) $. Esses vetores formam o que chamamos de base de Frenet, que descreve a orientação da curva no espaço.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente $ T(t) $. Esse vetor indica a direção em que a curva está seguindo naquele ponto específico.
Para isso, precisamos derivar a função $ \alpha(t) $ em relação a $ t $ para obter a velocidade da curva:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, para obter o vetor tangente unitário $ T(t) $, precisamos normalizar $ \alpha’(t) $. Isso significa dividir $ \alpha’(t) $ pelo seu módulo (comprimento).
Primeiro, calculamos o módulo de $ \alpha’(t) $:
Simplificando:
Então, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Agora vamos encontrar o vetor normal $ N(t) $. Esse vetor aponta na direção da mudança na direção da curva.
Primeiro, precisamos derivar $ T(t) $ em relação a $ t $:
Calculando cada componente:
Agora, normalizamos $ T’(t) $ para obter $ N(t) $:
Primeiro, calculamos o módulo de $ T’(t) $:
Simplificando:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o vetor binormal $ B(t) $. Esse vetor é perpendicular tanto a $ T(t) $ quanto a $ N(t) $ e completa a base de Frenet.
Para isso, usamos o produto vetorial entre $ T(t) $ e $ N(t) $:
Vamos calcular o produto vetorial:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Resposta
Então, os vetores da base de Frenet para a curva dada são: