Determine r(t)=t-1t+1 i+t-2t j para cada função dada.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a norma da derivada da função vetorial vec r(t)=t-1t+1,vec i+t-2t,vec j. O conteúdo envolve derivada de função vetorial (usando regra do quociente) e norma euclidiana de um vetor em R^2.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de cada componente usando a regra do quociente. Para x(t)=t-1t+1 temos
x'(t)=(1)(t+1)-(t-1)(1)(t+1)^2=t+1-t+1(t+1)^2=2(t+1)^2

Passo 3

e para y(t)=t-2t obtemos
y'(t)=(1)(t)-(t-2)(1)t^2=t-t+2t^2=2t^2, então
vec r,'(t)=2(t+1)^2,vec i+2t^2,vec j

Passo 4

Agora, a norma de vec r,'(t)=(x'(t),y'(t)) é dada por |vec r,'(t)|=raiz[x'(t)]^2+[y'(t)]^2. Substituindo:
|vec r,'(t)|=raizl(2(t+1)^2r)^2+l(2t^2r)^2 =raiz4(t+1)^4+4t^4

Resposta

|vec r,'(t)|=2raiz1(t+1)^4+1t^4

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