Determine para cada função dada.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a norma de $\overrightarrow{r!,’}(t)$ para a função vetor r!,'(t) O conteúdo aqui é: derivada de uma função vetorial em $\mathbb{R}^3$ e norma de vetor. Para resolver, vamos derivar cada componente e depois usar a definição de norma R^3

Passo 2

Derivamos componente a componente:
Para x'(t) = 3e^3t temos $y’(t) = 6e^{3t}.$
Para y'(t) = 6e^3t usamos $\frac{d}{dt}\ln(3t) = \frac{1}{t}.$
Logo $\overrightarrow{r!,’}(t) = 3e^{3t},\vec{i} + 6e^{3t},\vec{j} + \frac{1}{t},\vec{k}.$

Passo 3

Agora aplicamos a definição de norma em $\mathbb{R}^3$:
\$$
\left\|\overrightarrow{r\!\,'}(t)\right\| = \sqrt{(3e^{3t})^2 + (6e^{3t})^2 + \Bigl(\frac{1}{t}\Bigr)^2}.
\$$
Juntando termos semelhantes em $?$ temos
\$$
\left\|\overrightarrow{r\!\,'}(t)\right\| = \sqrt{9e^{6t} + 36e^{6t} + \frac{1}{t^2}} = 
\sqrt{45e^{6t} + \frac{1}{t^2}}.
\$$

Resposta

$\left|\overrightarrow{r!,’}(t)\right| = \sqrt{45e^{6t} + \frac{1}{t^2}}$

Exercícios relacionados