Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma curva definida por para . Nosso objetivo é encontrar a curvatura dessa curva. A curvatura nos diz o quão “curvada” a trajetória está em cada ponto. Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente as derivadas da curva e o produto cruzado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da curva, que é a velocidade vetorial . Isso nos dá a direção em que a curva está se movendo a cada instante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da curva, que é a aceleração vetorial . Isso nos ajuda a entender como a direção da curva está mudando.
Passo 4
A seguir, vamos calcular o produto cruzado de e , que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por esses vetores e está relacionado à curvatura.
Calculando o determinante:
alpha'(t) times alpha''(t) = ( (5 sin t)(4 sin t) - (-4 cos t)(5 cos t) ) i - ( (3 cos t)(4 sin t) - (-4 cos t)(-3 sin t) ) j + ( (3 cos t)(5 cos t) - (5 sin t)(-3 sin t) ) k
Simplificando:
alpha'(t) times alpha''(t) = ( 20 sin^2 t + 20 cos^2 t ) i - ( 12 cos t sin t - 12 cos t sin t ) j + ( 15 cos^2 t + 15 sin^2 t ) k
alpha'(t) times alpha''(t) = 20 (sin^2 t + cos^2 t) i + 0 j + 15 (cos^2 t + sin^2 t) k
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
alpha'(t) times alpha''(t) = 20 i + 15 k
Passo 5
Agora, vamos encontrar o módulo desse produto cruzado, que é a norma vetorial: