Considere a curva alpha(t)=(3 sen t, 1-5 cos t,-4 sen t) ; t >= 0.
Obtenha a curvatura de alpha;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma curva definida por alpha(t) = (3 sin t, 1 - 5 cos t, -4 sin t) para t >= 0. Nosso objetivo é encontrar a curvatura dessa curva. A curvatura nos diz o quão “curvada” a trajetória está em cada ponto. Para isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente as derivadas da curva e o produto cruzado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da curva, que é a velocidade vetorial alpha'(t). Isso nos dá a direção em que a curva está se movendo a cada instante.
alpha'(t) = ( ddt(3 sin t), ddt(1 - 5 cos t), ddt(-4 sin t) ) = (3 cos t, 5 sin t, -4 cos t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da curva, que é a aceleração vetorial alpha''(t). Isso nos ajuda a entender como a direção da curva está mudando.
alpha''(t) = ( ddt(3 cos t), ddt(5 sin t), ddt(-4 cos t) ) = (-3 sin t, 5 cos t, 4 sin t)

Passo 4

A seguir, vamos calcular o produto cruzado de alpha'(t) e alpha''(t), que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por esses vetores e está relacionado à curvatura.
alpha'(t) times alpha''(t) = i & j & k 3 cos t & 5 sin t & -4 cos t -3 sin t & 5 cos t & 4 sin t
Calculando o determinante:
alpha'(t) times alpha''(t) = ( (5 sin t)(4 sin t) - (-4 cos t)(5 cos t) ) i - ( (3 cos t)(4 sin t) - (-4 cos t)(-3 sin t) ) j + ( (3 cos t)(5 cos t) - (5 sin t)(-3 sin t) ) k
Simplificando:
alpha'(t) times alpha''(t) = ( 20 sin^2 t + 20 cos^2 t ) i - ( 12 cos t sin t - 12 cos t sin t ) j + ( 15 cos^2 t + 15 sin^2 t ) k
alpha'(t) times alpha''(t) = 20 (sin^2 t + cos^2 t) i + 0 j + 15 (cos^2 t + sin^2 t) k
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
alpha'(t) times alpha''(t) = 20 i + 15 k

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse produto cruzado, que é a norma vetorial:
|alpha'(t) times alpha''(t)| = raiz20^2 + 0^2 + 15^2 = raiz400 + 0 + 225 = raiz625 = 25

Passo 6

Em seguida, precisamos calcular o módulo da primeira derivada alpha'(t):
|alpha'(t)| = raiz(3 cos t)^2 + (5 sin t)^2 + (-4 cos t)^2 = raiz9 cos^2 t + 25 sin^2 t + 16 cos^2 t = raiz25 cos^2 t + 25 sin^2 t = raiz25 (cos^2 t + sin^2 t) = raiz25 cdot 1 = 5

Passo 7

Agora, podemos usar a fórmula da curvatura:
kappa(t) = |alpha'(t) times alpha''(t)||alpha'(t)|^3 = 255^3 = 25125 = 15 = 0,2

Resposta

A curvatura da curva alpha(t) é kappa(t) = 0,2.

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