Seja
a função definida por
Determine (se existir) todos os pontos de descontinuidade de f.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ f(x) $ que tem duas regras diferentes dependendo do valor de $ x $. Queremos descobrir se essa função tem algum ponto onde ela “pula” ou não é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e analisar cada parte da função. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função $ f(x) $ está definida:
Isso significa que para valores de $ x $ menores que 1, a função é um polinômio do segundo grau, e para valores iguais ou maiores que 1, ela é uma função linear.
Passo 3
Para verificar a continuidade, precisamos olhar principalmente no ponto onde a definição da função muda, ou seja, em $ x = 1 $. Em outros pontos, cada parte da função é contínua porque polinômios e funções lineares são contínuas em todo o seu domínio.
Passo 4
Vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^-
x \to 1^+ $), além do valor da função em $ x = 1 $.
Primeiro, o limite pela esquerda:
Passo 5
Agora, o limite pela direita:
Passo 6
Em seguida, vamos ver o valor da função em $ x = 1 $:
Passo 7
Agora, comparamos os limites e o valor da função em $ x = 1 $:
-
-
- $ f(1) = 5 $
Como os limites laterais são diferentes ($ 8 \neq 5 $), a função $ f(x) $ não é contínua em $ x = 1 $.
Resposta
A função $ f(x) $ possui um ponto de descontinuidade em $ x = 1 $.