Seja f a função definida por
f(x)=ccc x^2+4 x+3, & se & x<1 6 x-1, & se & x >= 1
Determine (se existir) todos os pontos de descontinuidade de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ f(x) $ que tem duas regras diferentes dependendo do valor de $ x $. Queremos descobrir se essa função tem algum ponto onde ela “pula” ou não é contínua. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e analisar cada parte da função. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função $ f(x) $ está definida:
f(x)
Isso significa que para valores de $ x $ menores que 1, a função é um polinômio do segundo grau, e para valores iguais ou maiores que 1, ela é uma função linear.

Passo 3

Para verificar a continuidade, precisamos olhar principalmente no ponto onde a definição da função muda, ou seja, em $ x = 1 $. Em outros pontos, cada parte da função é contínua porque polinômios e funções lineares são contínuas em todo o seu domínio.

Passo 4

Vamos calcular o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x \to 1^- x x \to 1^+ $), além do valor da função em $ x = 1 $.
Primeiro, o limite pela esquerda:
x to 1^-

Passo 5

Agora, o limite pela direita:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1 (6x - 1) = 6(1) - 1 = 6 - 1 = 5

Passo 6

Em seguida, vamos ver o valor da função em $ x = 1 $:
x = 1

Passo 7

Agora, comparamos os limites e o valor da função em $ x = 1 $:
  • x = 1
  • limx to 1^- f(x) = 8
  • $ f(1) = 5 $
Como os limites laterais são diferentes ($ 8 \neq 5 $), a função $ f(x) $ não é contínua em $ x = 1 $.

Resposta

A função $ f(x) $ possui um ponto de descontinuidade em $ x = 1 $.

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