Considere a curva alpha(t)=(3 sen t, 1-5 cos t,-4 sen t) ; t >= 0.
Verifique que o traço de alpha está contido numa esfera centrada na origem;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por α(t) = (3 sen t, 1 - 5 cos t, -4 sen t), onde t é maior ou igual a zero. A pergunta é para verificar se o trajeto dessa curva está dentro de uma esfera centrada na origem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação da esfera e como encontrar se todos os pontos da curva satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera centrada na origem é:
x^2 + y^2 + z^2 = R^2
Onde $ R $ é o raio da esfera. Nosso objetivo é encontrar um valor de $ R $ tal que, para todos os valores de $ t $, os pontos da curva α(t) satisfaçam essa equação.

Passo 3

Vamos começar substituindo as componentes de α(t) na equação da esfera. A curva α(t) tem:
x = 3 sin t
y = 1 - 5 cos t
z = -4 sin t
Substituindo essas expressões na equação da esfera:
(3 sin t)^2 + (1 - 5 cos t)^2 + (-4 sin t)^2 = R^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. $ (3 \sin t)^2 = 9 \sin^2 t $
  2. $ (1 - 5 \cos t)^2 = 1 - 10 \cos t + 25 \cos^2 t $
  3. $ (-4 \sin t)^2 = 16 \sin^2 t $
Somando esses termos:
(3 sin t)^2 = 9 sin^2 t

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
(9 sin^2 t + 16 sin^2 t) + (1 - 10 cos t + 25 cos^2 t) = 25 sin^2 t + 1 - 10 cos t + 25 cos^2 t
Então:
25 sin^2 t + 25 cos^2 t - 10 cos t + 1 = R^2

Passo 6

Agora, observamos que $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $, uma identidade trigonométrica básica. Vamos aplicar isso:
sin^2 t + cos^2 t = 1
25 (sin^2 t + cos^2 t) - 10 cos t + 1 = 25 cdot 1 - 10 cos t + 1
Então:
25 - 10 cos t + 1 = 26 - 10 cos t

Passo 7

Para que a equação $ 26 - 10 \cos t = R^2 $ seja válida para todo $ t $, o termo $ -10 \cos t $ precisa ser constante, o que só acontece se $ \cos t $ for constante. No entanto, $ \cos t $ varia entre -1 e 1, o que sugere que a equação não define uma esfera para todos os valores de $ t $. Mas, se considerarmos apenas a presença de uma esfera que contém o traço da curva, podemos encontrar um $ R $ que seja o máximo possível considerando os extremos de $ \cos t $.

Passo 8

O valor mínimo de $ 26 - 10 \cos t $ ocorre quando $ \cos t $ é máximo, ou seja, 1:
26 - 10 cos t
E o valor máximo ocorre quando $ \cos t $ é mínimo, ou seja, -1:
cos t
Isso significa que $ R^2 $ varia entre 16 e 36, ou seja, o traço da curva está contido entre duas esferas com raios $ \sqrt{16} = 4 $ e $ \sqrt{36} = 6 $.

Resposta

O traço da curva α(t) está contido entre duas esferas centradas na origem com raios 4 e 6 unidades. Portanto, existe uma esfera centrada na origem que contém todos os pontos da curva α(t).

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