verifique se a função
é contínua em toda parte.
Passo 1
A questão pede para verificar se a função
dada por
é contínua em todo o plano. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos usar a definição de continuidade e o cálculo de limites em várias variáveis.
Passo 2
Para
, tanto o numerador
quanto o denominador
são funções polinomiais contínuas, e o denominador não se anula. Logo, o quociente
é contínuo em todo ponto onde
.
Passo 3
No ponto
, aplicamos a definição de limite. Precisamos mostrar que
que coincida com
. Para isso, usamos coordenadas polares:
Então,
Assim,
Como
implica
, segue que o limite é zero.
Passo 4
Como o limite em
é igual a
, a função é contínua em
também. Combinando com a continuidade fora da origem, concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
A função é contínua em todo o plano
.