verifique se a função f(x, y)=llx y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0) é contínua em toda parte.

Passo 1

A questão pede para verificar se a função f:R^2toR dada por
f(x,y)= xy^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
é contínua em todo o plano. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos usar a definição de continuidade e o cálculo de limites em várias variáveis.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), tanto o numerador xy^2 quanto o denominador x^2+y^2 são funções polinomiais contínuas, e o denominador não se anula. Logo, o quociente
f(x,y)=xy^2x^2+y^2
é contínuo em todo ponto onde (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), aplicamos a definição de limite. Precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)xy^2x^2+y^2=0
que coincida com f(0,0)=0. Para isso, usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, r=raizx^2+y^2
Então,
f(r,theta)=r^3costhetasin^2thetar^2=rcosthetasin^2theta
Assim,
|f(r,theta)|=|rcosthetasin^2theta|<= r|costheta|<= r
Como rto0 implica |f(r,theta)|<= rto0, segue que o limite é zero.

Passo 4

Como o limite em (0,0) é igual a f(0,0)=0, a função é contínua em (0,0) também. Combinando com a continuidade fora da origem, concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função é contínua em todo o plano R^2.

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