determine e esboce o maior conjunto no qual a função dada é contínua
f(x, y)=y ln (1+x)

Passo 1

Temos a função f(x,y)=yln(1+x). O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis e domínio de logaritmo. Vamos precisar lembrar que o logaritmo natural só está definido para argumento positivo e usar propriedades de continuidade de soma, produto e composição.

Passo 2

O logaritmo ln(1+x) exige que 1+x>0. Assim, o domínio natural de f é o conjunto
D=(x,y)in R^2mid x>-1

Passo 3

Dentro de D, as funções xmapsto1+x e tmapstoln t são contínuas, e a projeção (x,y)mapsto y também é contínua. Como produto e composição de funções contínuas continuam contínuas, f é contínua em todo D.

Passo 4

Para esboçar D, desenhamos no plano cartesiano a reta vertical x=-1 tracejada (não incluída) e destacamos a região à direita dela (onde x>-1). Essa é a maior região onde f é contínua.

Resposta

O maior conjunto em que f(x,y)=yln(1+x) é contínua é
(x,y)in R^2mid x>-1

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