Considere a curva alpha(t)=(3 sen t, 1-5 cos t,-4 sen t) ; t >= 0.
Mostre que a projeção ortogonal do vetor velocidade no plano xy, tem comprimento constante.

Passo 1

Temos a curva alpha(t)=(3sin t,,1-5cos t,,-4sin t) para t>=0. O que precisamos usar é:
  1. derivar alpha(t) para obter o vetor velocidade,
  2. projetar ortogonalmente esse vetor no plano xy,
  3. calcular o módulo da projeção e verificar se ele depende de t.

Passo 2

Derivando cada componente de alpha(t) obtemos
alpha'(t)=l(3cos t,;5sin t,;-4cos tr)

Passo 3

A projeção ortogonal de alpha'(t) no plano xy é obtida zerando a componente z. Logo
vxy(t)=l(3cos t,;5sin t,;0r)

Passo 4

O comprimento de vxy(t) é
|vxy(t)|=raiz(3cos t)^2+(5sin t)^2 =raiz9cos^2 t+25sin^2 t
Como essa expressão não se reduz a uma constante (fica função de t), concluímos que o módulo da projeção não é constante.

Passo 5

Portanto, a afirmação de que essa projeção teria comprimento constante é falsa, pois
t
depende de .

Resposta

A projeção de alpha'(t) no plano xy tem módulo raiz9cos^2 t+25sin^2 t, que não é constante em t.

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