Considere a função
. Classifique os pontos de máximo/mínimo locais ou de inflexão de
, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função $ f(x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2} + 10 $ e identificar se existem pontos de máximo, mínimo ou de inflexão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $ e é essencial para identificar pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de $ f(x) $ é:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $. Esses são os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Resolvendo a equação:
Podemos fatorar:
Fatorando o polinômio quadrático:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $, que nos dá a concavidade da função.
A segunda derivada de $ f(x) $ é:
Calculando:
Passo 5
Vamos aplicar o Teste da Segunda Derivada nos pontos críticos encontrados ($ x = 0, 1, 2 $):
-
Para $ x = 0 $:Como $ f’’(0) > 0 $, a função é côncava para cima, indicando um mínimo local em $ x = 0 $.
-
Para $ x = 1 $:Como $ f’’(1) < 0 $, a função é côncava para baixo, indicando um máximo local em $ x = 1 $.
-
Para $ x = 2 $:Novamente, $ f’’(2) > 0 $ mostra que a função é côncava para cima, indicando um mínimo local em $ x = 2 $.
Passo 6
Além dos pontos críticos, também podemos verificar se existem pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, existem dois pontos de inflexão em:
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2} + 10 $ possui:
- Máximo local em $ x = 1 $
- Mínimos locais em $ x = 0 $ e $ x = 2 $
- Pontos de inflexão em $ x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $