Considere a função f(x)=x^44-x^3+x^2+10. Classifique os pontos de máximo/mínimo locais ou de inflexão de f, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a função $ f(x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2} + 10 $ e identificar se existem pontos de máximo, mínimo ou de inflexão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $ e é essencial para identificar pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
Calculando cada termo:
x
Então:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $. Esses são os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Resolvendo a equação:
f'(x) = 0
Podemos fatorar:
x^3 - 3x^2 + 2x = 0
Fatorando o polinômio quadrático:
x(x^2 - 3x + 2) = 0
Então, os pontos críticos são:
x(x - 1)(x - 2) = 0

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, precisamos calcular a segunda derivada de $ f(x) $, que nos dá a concavidade da função.
A segunda derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
Calculando:
f(x)

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Segunda Derivada nos pontos críticos encontrados ($ x = 0, 1, 2 $):
  1. Para $ x = 0 $:
    x = 0, 1, 2
    Como $ f’’(0) > 0 $, a função é côncava para cima, indicando um mínimo local em $ x = 0 $.
  2. Para $ x = 1 $:
    x = 0
    Como $ f’’(1) < 0 $, a função é côncava para baixo, indicando um máximo local em $ x = 1 $.
  3. Para $ x = 2 $:
    f''(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 2 = 2 > 0
    Novamente, $ f’’(2) > 0 $ mostra que a função é côncava para cima, indicando um mínimo local em $ x = 2 $.

Passo 6

Além dos pontos críticos, também podemos verificar se existem pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
3x^2 - 6x + 2 = 0
Portanto, existem dois pontos de inflexão em:
x = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 3 cdot 22 cdot 3 = 6 pm raiz36 - 246 = 6 pm raiz126 = 6 pm 2raiz36 = 1 pm raiz33

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2} + 10 $ possui:
  • Máximo local em $ x = 1 $
  • Mínimos locais em $ x = 0 $ e $ x = 2 $
  • Pontos de inflexão em $ x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $ e $ x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $

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