Considere a curva
que é a borda do triângulo com vértices em
e (
, orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha:
Passo 1
O enunciado pede
onde
e
é a fronteira do triângulo de vértices
, orientado anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que diz
Vamos usar o Teorema de Green, que diz
onde
é o interior desse triângulo.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais:
e, chamando
,
Logo
Passo 3
Então
Mostra-se (por integrar primeiro em
e usar que não há arestas horizontais em
) que
.
Ficamos assim com
Ficamos assim com
Passo 4
O domínio
é o triângulo de vértices
.
Área de :
Área de
O valor de
integral duplaD x,dA é a abscissa do centróide vezes a área. A abscissa do centróide vale
0+1+33=tfrac43 ,
logo
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Passo 5
Substituindo em
integral duplaD1,dA - 2integral duplaD x,dA
obtemos
obtemos