Obtenha a soma da série infinita dada, com precisão de três casas decimais.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita alternante
sumn=1^+infty(-1)^n+11n^4
O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa soma é a função eta(s) de Dirichlet em s=4, e que existe a relação
eta(s) = (1 - 2^,1-s),zeta(s),
onde zeta(s) é a função zeta de Riemann. Para resolver, vamos usar essa relação e o valor conhecido de zeta(4).

Passo 2

Aplicando a relação para s=4, temos
sumn=1^+infty(-1)^n+11n^4 ;=;eta(4);=;l(1-2^,1-4r),zeta(4);=;l(1-2^-3r),zeta(4);=;tfrac78,zeta(4)

Passo 3

Sabemos que
zeta(4)=sumn=1^+infty1n^4=pi^490
Substituindo em tfrac78,zeta(4), fica
sumn=1^+infty(-1)^n+11n^4 =78,pi^490 =7pi^4720

Passo 4

Para obter a aproximação numérica, calculamos
7pi^4720approx 0,947032829ldots
Arredondando com precisão de três casas decimais, temos 0,947.

Resposta

0,947

Exercícios relacionados