Considere a curva C dada por \vec{r}(t)=\left(t, e^{t}\right), 0 \leq t \leq 1. Calcule
\int_{C} y d s

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica \vec r(t)=\bigl(t,e^t\bigr) para 0\le t\le1 e pede
\int_{C}y\,ds.
O conteúdo é integral de linha de uma função escalar f(x,y)=y em relação ao comprimento de arco, que se calcula por
\int_{C}f\,ds=\int_{a}^{b}f\bigl(\vec r(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos
\vec r'(t)=(1,e^t) \quad\text{e}\quad \bigl\|\vec r'(t)\bigr\|=\sqrt{1+(e^t)^2}=\sqrt{1+e^{2t}}.
Logo
\int_{C}y\,ds =\int_{0}^{1}e^t\sqrt{1+e^{2t}}\,dt.

Passo 3

Para resolver \displaystyle\int_{0}^{1}e^t\sqrt{1+e^{2t}}\,dt, fazemos a mudança de variável u=e^t. Então
du=e^t\,dt, \quad t=0\Rightarrow u=1, \quad t=1\Rightarrow u=e.
O integral vira
\int_{1}^{e}\sqrt{1+u^2}\,du.

Passo 4

O antiderivado de \sqrt{1+u^2} é
\frac{u}{2}\sqrt{1+u^2}+\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr).

Passo 5

Avaliaremos de u=1 até u=e:
\int_{1}^{e}\sqrt{1+u^2}\,du =\Biggl[\frac{u}{2}\sqrt{1+u^2}+\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr)\Biggr]_{1}^{e}
=\frac{1}{2}\Bigl(e\sqrt{e^2+1}-\sqrt{2}+\ln\bigl(e+\sqrt{e^2+1}\bigr)-\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr)
=\frac{1}{2}\Bigl(e\sqrt{e^2+1}-\sqrt{2}+\ln\frac{e+\sqrt{e^2+1}}{1+\sqrt{2}}\Bigr).

Resposta

\frac{1}{2}\Bigl(e\sqrt{e^2+1}-\sqrt{2}+\ln\frac{e+\sqrt{e^2+1}}{1+\sqrt{2}}\Bigr).

Exercícios relacionados