Considere a curva C parametrizada por \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}\right), com 0 \leq t \leq 1. Calcule
\int_{C}(x+y) d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo da curva C dada por \vec r(t) = (t,\,t^2), com 0\le t\le1.
O conteúdo é “integrais de linha de funções escalares” e vamos precisar parametrizar a integral usando
\int_{C}f(x,y)\,ds \;=\;\int_{a}^{b}f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função escalar que vamos integrar sobre C:
f(x,y)=x+y.
Em termos da parametrização, x(t)=t e y(t)=t^2, logo
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=t+t^2.

Passo 3

Agora calculamos o vetor velocidade \vec r\,'(t) e seu módulo:
\vec r\,'(t) =\bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) =(1,\;2t),
\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+(2t)^2} =\sqrt{1+4t^2}.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle\int_{C}(x+y)\,ds, obtemos
\int_{C}(x+y)\,ds =\int_{0}^{1}\bigl(t+t^2\bigr)\,\sqrt{1+4t^2}\;dt.

Passo 5

A forma final da integral de linha é
\boxed{ \int_{C}(x+y)\,ds =\int_{0}^{1}\bigl(t+t^2\bigr)\,\sqrt{1+4t^2}\;dt. }
Se for necessário um valor numérico, podemos aproximar por métodos numéricos e encontrar
\int_{0}^{1}(t+t^2)\sqrt{1+4t^2}\,dt\;\approx\;1{,}457.

Resposta

\int_{C}(x+y)\,ds =\int_{0}^{1}(t+t^2)\,\sqrt{1+4t^2}\,dt \approx1{,}457.

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