Calcule a integral de linha da função f(x, y)=x+y ao longo do segmento de reta que vai de A(0,0) até B(1,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da função \;f(x,y)=x+y\; sobre o segmento de reta de A(0,0) até B(1,1).
Aqui usamos o conceito de integral de linha para função escalar, dada por
\int_C f(x,y)\,\mathrm{d}s =\int_a^b f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta ligando A a B por
x(t)=t,\quad y(t)=t,\quad 0\le t\le1.

Passo 3

Calculamos as derivadas e o elemento de arco:
x'(t)=1,\quad y'(t)=1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2} =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int_C (x+y)\,\mathrm{d}s =\int_{0}^{1}\bigl(t+t\bigr)\,\sqrt{2}\,\mathrm{d}t =2\sqrt{2}\int_{0}^{1}t\,\mathrm{d}t =2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2} =\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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