Considere a curva C de equação vetorial dada por
r(t)=raiz2 t i+e^t j+e^-t k
Determine:
a função s(t) que mede o comprimento e arco a a partir do ponto P=(0,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva definida por uma equação vetorial e pede para encontrarmos a função que mede o comprimento do arco a partir do ponto . Isso está relacionado com o estudo do comprimento de arco em cálculo, e para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação e integração de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva que estamos analisando. A equação vetorial da curva é dada por:
r(t) = raiz2 , t , i + e^t , j + e^-t , k
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na curva.

Passo 3

Para encontrar o comprimento do arco a partir de um ponto inicial s(t) = integralt0^t | r'(u) | du , a gente precisa usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. A fórmula é:
Onde:
  • é a derivada da função vetorial em relação a .
  • é o valor de correspondente ao ponto inicial .

Passo 4

Vamos encontrar raiz2 , t0 = 0 Rightarrow t0 = 0 associando o ponto e^0 = 1 e e^-0 = 1 à função . Igualando as componentes:
Verificamos também que para :
O que confirma que corresponde ao ponto .

Passo 5

Agora, vamos derivar r'(t) = ddt ( raiz2 , t , i + e^t , j + e^-t , k ) = raiz2 , i + e^t , j - e^-t , k em relação a :

Passo 6

Vamos calcular o módulo dessa derivada | r'(t) | = raiz (raiz2)^2 + (e^t)^2 + (-e^-t)^2 = raiz 2 + e^2t + e^-2t :

Passo 7

Com o módulo da derivada, podemos expressar a função s(t) = integral0^t raiz 2 + e^2u + e^-2u , du como a integral de a :
Aqui, substituímos como variável de integração para evitar confusão com o limite superior .

Resposta

A função que mede o comprimento de arco a partir do ponto s(t) = integral0^t raiz 2 + e^2u + e^-2u , du é dada por:

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