Determine:
a função que mede o comprimento e arco a a partir do ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva definida por uma equação vetorial e pede para encontrarmos a função que mede o comprimento do arco a partir do ponto . Isso está relacionado com o estudo do comprimento de arco em cálculo, e para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação e integração de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva que estamos analisando. A equação vetorial da curva é dada por:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na curva.
Passo 3
Para encontrar o comprimento do arco a partir de um ponto inicial , a gente precisa usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. A fórmula é:
Onde:
é a derivada da função vetorial em relação a .
é o valor de correspondente ao ponto inicial .
Passo 4
Vamos encontrar raiz2 , t0 = 0 Rightarrow t0 = 0 associando o ponto e^0 = 1 e e^-0 = 1 à função . Igualando as componentes:
Verificamos também que para :
O que confirma que corresponde ao ponto .
Passo 5
Agora, vamos derivar r'(t) = ddt ( raiz2 , t , i + e^t , j + e^-t , k ) = raiz2 , i + e^t , j - e^-t , k em relação a :