Considere a curva de equação vetorial dada por:
r(t)=t i+12 t^2 j+t^2 k
Calcule a curvatura k(t).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela equação vetorial:
r(t)=t i+12 t^2 j+t^2 k
O que a gente precisa encontrar aqui é a curvatura dessa curva, que é representada por . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especialmente derivadas de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função vetorial r'(t) = ddt ( t i + 12 t^2 j + t^2 k ) = i + t j + 2t k em relação a , que é chamada de vetor velocidade :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada da velocidade, que é o vetor aceleração r''(t) = ddt ( i + t j + 2t k ) = 0 i + j + 2 k = j + 2 k :

Passo 4

A fórmula para a curvatura k(t) = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 de uma curva é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial entre os vetores, e denota o módulo do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t) = i & j & k 1 & t & 2t 0 & 1 & 2 :
= i(t cdot 2 - 2t cdot 1) - j(1 cdot 2 - 2t cdot 0) + k(1 cdot 1 - t cdot 0)
Calculando o determinante:
= i(2t - 2t) - j(2 - 0) + k(1 - 0)
= 0 i - 2 j + 1 k
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
|r'(t) times r''(t)| = raiz0^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5

Passo 7

Em seguida, vamos calcular o módulo de |r'(t)| = raiz1^2 + t^2 + (2t)^2 = raiz1 + t^2 + 4t^2 = raiz1 + 5t^2 :

Passo 8

Agora, elevamos esse módulo ao cubo:
|r'(t)|^3 = ( raiz1 + 5t^2 )^3 = (1 + 5t^2)^3/2

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:
k(t) = raiz5(1 + 5t^2)^3/2

Resposta

A curvatura da curva é:
k(t) = raiz5(1 + 5t^2)^32

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