Considere a curva de equação vetorial dada por:
r(t)=t i+12 t^2 j+t^2 k
Determine as funções vetoriais T(t) e N(t) que representam os vetores tangente unitário e normal unitário, respectivamente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva descrita pela equação vetorial:
r(t) = t i + 12 t^2 j + t^2 k
O objetivo é encontrar as funções vetoriais T(t) e N(t), que representam, respectivamente, o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário nessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como derivadas de vetores e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo t. A derivada nos dá a direção em que a curva está “indo” naquele ponto.
v(t) = drdt = ddt(t i + 12 t^2 j + t^2 k)
Calculando cada componente:
  • Derivada de t em i é 1 i
  • Derivada de 12 t^2 em j é t j
  • Derivada de t^2 em k é 2t k
Então,
v(t) = i + t j + 2t k

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário T(t). Para isso, precisamos normalizar o vetor velocidade, ou seja, dividir o vetor velocidade pela sua magnitude.
A fórmula para o vetor tangente unitário é:
T(t) = v(t)||v(t)||
Primeiro, calculamos a magnitude de v(t):
||v(t)|| = raiz1^2 + t^2 + (2t)^2 = raiz1 + t^2 + 4t^2 = raiz1 + 5t^2
Então,
T(t) = 1raiz1 + 5t^2 i + traiz1 + 5t^2 j + 2traiz1 + 5t^2 k

Passo 4

Agora que temos o vetor tangente unitário, vamos encontrar o vetor normal unitário N(t). Para isso, precisamos derivar o vetor tangente T(t) em relação ao tempo t e depois normalizar o resultado.
Primeiro, derivamos T(t):
dTdt = ddt( 1raiz1 + 5t^2 i + traiz1 + 5t^2 j + 2traiz1 + 5t^2 k )
Vamos derivar cada componente:
  1. Para a componente i:
ddt ( 1raiz1 + 5t^2 ) = -5t(1 + 5t^2)^3/2
  1. Para a componente j:
Usando a regra do produto:
ddt ( traiz1 + 5t^2 ) = 1raiz1 + 5t^2 - 5t^2(1 + 5t^2)^3/2 = 1 + 5t^2 - 5t^2(1 + 5t^2)^3/2 = 1(1 + 5t^2)^3/2
  1. Para a componente k:
Similar ao anterior:
ddt ( 2traiz1 + 5t^2 ) = 2raiz1 + 5t^2 - 10t^2(1 + 5t^2)^3/2 = 2(1 + 5t^2) - 10t^2(1 + 5t^2)^3/2 = 2(1 + 5t^2)^3/2
Então,
dTdt = -5t(1 + 5t^2)^3/2 i + 1(1 + 5t^2)^3/2 j + 2(1 + 5t^2)^3/2 k
Agora, para encontrar N(t), normalizamos dTdt:
||dTdt|| = raiz(-5t(1 + 5t^2)^3/2)^2 + (1(1 + 5t^2)^3/2)^2 + (2(1 + 5t^2)^3/2)^2
Simplificando:
Então,
||dTdt|| = raiz25t^2 + 1 + 4(1 + 5t^2)^3/2 = raiz25t^2 + 5(1 + 5t^2)^3/2 = raiz5(5t^2 + 1)(1 + 5t^2)^3/2 = raiz5raiz1 + 5t^2(1 + 5t^2)^3/2 = raiz5(1 + 5t^2)
Simplificando ainda mais:
N(t) = dTdt||dTdt|| = -5t(1 + 5t^2)^3/2 i + 1(1 + 5t^2)^3/2 j + 2(1 + 5t^2)^3/2 kraiz5(1 + 5t^2) = -5t i + j + 2 kraiz5(1 + 5t^2)^1/2
Podemos simplificar N(t) = -5traiz5(1 + 5t^2)^1/2 i + 1raiz5(1 + 5t^2)^1/2 j + 2raiz5(1 + 5t^2)^1/2 k :
raiz5

Resposta

As funções vetoriais dos vetores tangente unitário e normal unitário são:
T(t) = 1raiz1 + 5t^2 i + traiz1 + 5t^2 j + 2traiz1 + 5t^2 k
e
N(t) = -traiz1 + 5t^2 i + 1raiz5raiz1 + 5t^2 j + 2raiz5raiz1 + 5t^2 k

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