Considere a curva de equação vetorial dada por:
Determine as funções vetoriais
e
que representam os vetores tangente unitário e normal unitário, respectivamente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva descrita pela equação vetorial:
O objetivo é encontrar as funções vetoriais
e
, que representam, respectivamente, o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário nessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como derivadas de vetores e normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo
. A derivada nos dá a direção em que a curva está “indo” naquele ponto.
Calculando cada componente:
- Derivada de
em é - Derivada de
em é - Derivada de
em é
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário
. Para isso, precisamos normalizar o vetor velocidade, ou seja, dividir o vetor velocidade pela sua magnitude.
A fórmula para o vetor tangente unitário é:
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então,
Passo 4
Agora que temos o vetor tangente unitário, vamos encontrar o vetor normal unitário
. Para isso, precisamos derivar o vetor tangente
em relação ao tempo
e depois normalizar o resultado.
Primeiro, derivamos
:
Vamos derivar cada componente:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Usando a regra do produto:
- Para a componente
:
Similar ao anterior:
Então,
Agora, para encontrar
, normalizamos
:
Simplificando:
Então,
Simplificando ainda mais:
Podemos simplificar
:
Resposta
As funções vetoriais dos vetores tangente unitário e normal unitário são:
e