Considere a curva
interseção da superfície cilíndrica
com o plano
, no primeiro octante, percorrida no sentido decrescente da variável
. Calcule o trabalho realizado pela força
para deslocar uma partícula ao longo de
.
Passo 1
A curva C é a interseção da superfície cilíndrica z=4−x² com o plano x+y=1 no primeiro octante, e queremos calcular o trabalho ∫_C F·dr para F(x,y,z)=(−z,2x,3y) com orientação de x decrescente.
Como a interseção satisfaz x+y=1, podemos escrever y=1−x. Além disso z=4−x² pela superfície cilíndrica. No primeiro octante, x≥0 e y=1−x≥0 implica 0≤x≤1. Para seguir x decrescendo, parametrize por x=t, com t indo de 1 a 0:
Como a interseção satisfaz x+y=1, podemos escrever y=1−x. Além disso z=4−x² pela superfície cilíndrica. No primeiro octante, x≥0 e y=1−x≥0 implica 0≤x≤1. Para seguir x decrescendo, parametrize por x=t, com t indo de 1 a 0:
Passo 2
Então
Passo 3
Substituindo na força obtemos
Passo 4
O produto escalar F·dr é
Passo 5
Simplificando o integrando:
Passo 6
logo o trabalho é
Passo 7
Calcule a integral: antiderivada =
. Avaliando de 1 a 0 dá