Considere a curva C interseção da superfície cilíndrica z=4-x^2 com o plano x+y=1, no primeiro octante, percorrida no sentido decrescente da variável x. Calcule o trabalho realizado pela força F(x, y, z)=(-z, 2 x, 3 y) para deslocar uma partícula ao longo de C.

Passo 1

A curva C é a interseção da superfície cilíndrica z=4−x² com o plano x+y=1 no primeiro octante, e queremos calcular o trabalho ∫_C F·dr para F(x,y,z)=(−z,2x,3y) com orientação de x decrescente.
Como a interseção satisfaz x+y=1, podemos escrever y=1−x. Além disso z=4−x² pela superfície cilíndrica. No primeiro octante, x≥0 e y=1−x≥0 implica 0≤x≤1. Para seguir x decrescendo, parametrize por x=t, com t indo de 1 a 0:
r(t)=(x,y,z)=(t,,1−t,,4−t^2), t∈[1,0]

Passo 2

Então
d r=(dx,,dy,,dz)=(dt,,-dt,,-2t,dt)

Passo 3

Substituindo na força obtemos
F( r(t))=(-z,2x,3y)=l(-(4−t^2),,2t,,3(1−t)r)=(t^2−4,,2t,,3−3t)

Passo 4

O produto escalar F·dr é
F( r(t))cdot d r=(t^2−4),dt + 2t(-dt)+(3−3t)(-2t,dt)

Passo 5

Simplificando o integrando:
(t^2−4) -2t -2t(3−3t)=7t^2 -8t -4,

Passo 6

logo o trabalho é
integralC Fcdot d r=integralt=1^0(7t^2 -8t -4),dt

Passo 7

Calcule a integral: antiderivada = tfrac73t^3 -4t^2 -4t. Avaliando de 1 a 0 dá
0 -l(tfrac73-4-4r)=tfrac173

Resposta

tfrac173

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