Encontre uma parametrização para as seguintes superfícies.
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=16 que está entre os planos x=0 e x=5

Passo 1

O exercício pede a parte da esfera x^2+y^2+z^2=16 que fica entre os planos x=0 e x=5. Isso é conteúdo de parametrização de superfícies e vamos usar coordenadas esféricas para descrever a superfície do raio 4.

Passo 2

Em coordenadas esféricas centradas na origem, qualquer ponto da esfera de raio 4 é dado por
x=4sinphicostheta, y=4sinphisintheta, z=4cosphi
onde phi é o ângulo polar (de 0 até pi) e theta é o ângulo azimutal (de 0 até 2pi).

Passo 3

Precisamos restringir ao trecho onde x está entre 0 e 5. Na esfera de raio 4 temos sempre |x|<=4<5, então a condição x<=5 é automática. Já x>=0 implica
4sinphicostheta>=0
ou seja costheta>=0. Logo escolhemos
thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r]

Passo 4

Com isso a parametrização final fica definida sobre

na forma abaixo.

Resposta

[\n r(\phi,\theta)=(4\sin\phi\cos\theta,,4\sin\phi\sin\theta,,4\cos\phi),\
\phi\in[0,\pi],\
\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\n]

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