Encontre uma parametrização para as seguintes superfícies.
A parte da esfera
que está entre os planos
e
A parte da esfera
Passo 1
O exercício pede a parte da esfera
que fica entre os planos
e
. Isso é conteúdo de parametrização de superfícies e vamos usar coordenadas esféricas para descrever a superfície do raio 4.
Passo 2
Em coordenadas esféricas centradas na origem, qualquer ponto da esfera de raio 4 é dado por
onde
é o ângulo polar (de 0 até
) e
é o ângulo azimutal (de 0 até
).
Passo 3
Precisamos restringir ao trecho onde
está entre 0 e 5. Na esfera de raio 4 temos sempre
, então a condição
é automática. Já
implica
ou seja
. Logo escolhemos
Passo 4
Com isso a parametrização final fica definida sobre
na forma abaixo.
na forma abaixo.
Resposta
[\n r(\phi,\theta)=(4\sin\phi\cos\theta,,4\sin\phi\sin\theta,,4\cos\phi),\
\phi\in[0,\pi],\
\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\n]
\phi\in[0,\pi],\
\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\n]