Considere a curva C parametrizada por r(t)=(cos (t), 1+sen(t), sen(t)+ cos (t)), 0 <= t <= pi / 2 e o campo vetorial F(x, y, z)=(2 x y-z^2, x^2,-2 x z), calcule phiC F(r(t)) r^prime(t) d t

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha integralC Fcdot dr onde a curva é dada por r(t)=(cos t,,1+sin t,,sin t+cos t), com 0<= t<=pi/2, e o campo é F(x,y,z)=(2xy-z^2,,x^2,,-2xz). Vamos usar o fato de que, se o campo for conservativo, o integral só depende dos valores de um potencial nos extremos.

Passo 2

Para checar se F é conservativo, calculamos o rotacional nablatimesF=(partialyFz-partialzFy,;partialzFx-partialxFz,;partialxFy-partialyFx).
Os componentes do rotacional são:
nablatimesF=(partialy(-2xz)-partialz(x^2),;partialz(2xy-z^2)-partialx(-2xz),;partialx(x^2)-partialy(2xy-z^2))=(0,0,0)
Como o rotacional é zero em todo R^3, o campo é conservativo e existe uma função potencial f com nabla f=F.

Passo 3

Para achar f(x,y,z) integramos fx=2xy-z^2 em relação a x:
f(x,y,z)=integral(2xy-z^2),dx=x^2y-xz^2+g(y,z)
Derivando isso em relação a y e igualando a Fy=x^2 obtemos gy=0, logo g=g(z). Depois, derivando f em relação a z e igualando a Fz=-2xz encontramos g'(z)=0. Assim
f(x,y,z)=x^2y-xz^2 + C,
onde podemos tomar C=0 sem perda de generalidade.

Passo 4

Agora avaliamos f nos extremos da curva. Para t=0,
r(0)=(1,1,1)Rightarrow f(1,1,1)=1^2cdot1-1cdot1^2=0
Para t=pi/2,
r(pi/2)=(0,2,1)Rightarrow f(0,2,1)=0^2cdot2-0cdot1^2=0

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dr=f(r(pi/2))-f(r(0))=0-0=0

Resposta

0

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