Considere a curva
parametrizada por
e o campo vetorial
, calcule
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha
onde a curva é dada por
, com
, e o campo é
. Vamos usar o fato de que, se o campo for conservativo, o integral só depende dos valores de um potencial nos extremos.
Passo 2
Para checar se
é conservativo, calculamos o rotacional
.
Os componentes do rotacional são:
Os componentes do rotacional são:
Como o rotacional é zero em todo
, o campo é conservativo e existe uma função potencial
com
.
Passo 3
Para achar
integramos
em relação a
:
Derivando isso em relação a
e igualando a
obtemos
, logo
. Depois, derivando
em relação a
e igualando a
encontramos
. Assim
onde podemos tomar
sem perda de generalidade.
Passo 4
Agora avaliamos
nos extremos da curva. Para
,
Para
,
Passo 5
Finalmente, pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Resposta
0