onde e são partições dos intervalos respectivamente, e e . Utilize a fórmula (1) para determinar as seguintes integrais duplas: onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos somar todos os valores da função nessa área retangular. Para fazer isso, vamos usar a ideia de integrais duplas, que basicamente são integrais de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular uma integral dupla sobre um retângulo, podemos fazer duas integrais iteradas: uma de dentro para fora. Ou seja, vamos integrar a função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante, e depois integrar o resultado em relação à segunda variável.
Passo 3
Vamos decidir integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Então, nossa integral dupla fica assim:
Aqui, representa um pequeno pedaço da área, e estamos somando esses pedacinhos.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :