Se R=[a, b] times[c, d], sabemos que
integral duplaR f(x, y) d A=lim n, m infty sumi=1^n sumj=1^m f(xi^*, yj^*) De
onde Q1=a=x0 e Q2=c=y0 são partições dos intervalos [a, b] e[c, d] respectivamente, e xi^* in[xi-1, xi] e yj^* in[yj-1, yj]. Utilize a fórmula (1) para determinar as seguintes integrais duplas:
integral duplaR(2-x-y) d A onde R=[0,2] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Isso significa que vamos somar todos os valores da função nessa área retangular. Para fazer isso, vamos usar a ideia de integrais duplas, que basicamente são integrais de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular uma integral dupla sobre um retângulo, podemos fazer duas integrais iteradas: uma de dentro para fora. Ou seja, vamos integrar a função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante, e depois integrar o resultado em relação à segunda variável.

Passo 3

Vamos decidir integrar primeiro em relação a integral duplaR (2 - x - y) , dA = integral0^2 ( integral0^1 (2 - x - y) , dy ) dx e depois em relação a . Então, nossa integral dupla fica assim:
Aqui, representa um pequeno pedaço da área, e estamos somando esses pedacinhos.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 (2 - x - y) , dy :
integral0^1 2 , dy = 2y |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
Integrando termo a termo:
integral0^1 (-x) , dy = -x y |0^1 = -x(1) - (-x)(0) = -x
integral0^1 (-y) , dy = -y^22 |0^1 = -12 + 02 = -12
2 - x - 12 = 32 - x
Somando tudo:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa, que é em relação a integral0^2 ( 32 - x ) dx :
integral0^2 32 , dx = 32 x |0^2 = 32(2) - 32(0) = 3
Integrando termo a termo:
integral0^2 (-x) , dx = -x^22 |0^2 = -42 + 02 = -2
3 - 2 = 1
Somando tudo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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