Utilize o Teorema de Green em cada caso:
Determinar a integral de linha de
ao longo do contorno do retângulo com vértices em
em sentido anti-horário.
Determinar a integral de linha de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo do contorno de um retângulo com vértices em
,
,
e
, seguindo o sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pelo contorno.
Passo 2
Segundo o Teorema de Green, temos:
Aqui, o campo vetorial
é composto por
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla sobre a regi��o
, que é o retângulo definido pelos vértices dados. As variáveis
variam de
a
e as variáveis
variam de
a
. Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo na integral externa:
Passo 6
Finalmente, calculamos a integral de
:
Multiplicando pelo fator:
Resposta
A integral de linha é igual a
.