Utilize o Teorema de Green em cada caso:
Determinar a integral de linha de F(x, y)=(6 x y, x^2) ao longo do contorno do retângulo com vértices em (-1,0),(3,0),(3,2),(-1,2) em sentido anti-horário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (6xy, x^2) ao longo do contorno de um retângulo com vértices em (-1,0), (3,0), (3,2) e (-1,2), seguindo o sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada pelo contorno.

Passo 2

Segundo o Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, o campo vetorial F é composto por P = 6xy e Q = x^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
partial Ppartial y = partialpartial y (6xy) = 6x
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 6x = -4x

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla sobre a regi��o D, que é o retângulo definido pelos vértices dados. As variáveis x variam de -1 a 3 e as variáveis y variam de 0 a 2. Então, a integral dupla fica:
integral duplaD (-4x) , dA = -4 integralx=-1^3 integraly=0^2 x , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integraly=0^2 x , dy = x integral0^2 dy = x (2 - 0) = 2x
Substituindo na integral externa:
-4 integral-1^3 2x , dx = -8 integral-1^3 x , dx

Passo 6

Finalmente, calculamos a integral de x:
integral-1^3 x , dx = [ x^22 ]-1^3 = 3^22 - (-1)^22 = 92 - 12 = 4
Multiplicando pelo fator:
-8 times 4 = -32

Resposta

A integral de linha é igual a -32.

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