Considere a curva
parametrizada por
, em que
são constantes fixadas.
(a) Mostre que
está contida no elipsóide
.
(b) Mostre que
também está contida em um plano que contém o eixo
.
(c) Faça um esboço da curva
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Faça um esboço da curva
Passo 1
O enunciado dá a curva
paramétrica
onde
são constantes fixadas. As perguntas são:
(a) mostrar que está contida no elipsóide
;
(b) mostrar que também está contida em um plano que contém o eixo
;
(c) fazer um esboço da curva (ou seja, descrever sua forma e pontos notáveis para desenhá‑la).
(a) mostrar que
(b) mostrar que
(c) fazer um esboço da curva
Informações relevantes dadas: as fórmulas paramétricas acima determinam todas as coordenadas
como funções do parâmetro
. Não há restrição explícita sobre
, então entendemos que
varia em
para traçar a curva completa.
Passo 2
(a) Vamos verificar diretamente que qualquer ponto da curva satisfaz a equação do elipsóide. Para isso computamos cada termo da soma
substituindo
em termos de
.
Primeiro, calculemos
. Substituindo
obtemos
Expliquei cada passo: eleva ao quadrado
e divide por
, o que cancela
.
Agora
. Com
temos
Por fim
. Com
,
Passo 3
Agora somamos os três termos que acabamos de calcular:
Note que os dois primeiros termos têm fator
, então podemos escrevê‑los juntos:
Aqui uso a identidade trigonométrica básica
(que vale para qualquer ângulo
). Portanto o parêntese é
, e obtemos
usando agora a mesma identidade para o ângulo
. Concluímos que para todo
,
Isso demonstra que todo ponto
da curva
satisfaz a equação do elipsóide, logo
está contida nele.
Observação didática rápida: a estratégia foi substituir diretamente a parametrização na equação do elipsóide e usar a identidade trigonométrica
. Essa é a técnica padrão quando se quer mostrar que uma parametrização pertence a uma superfície dada por uma equação.
Passo 4
(b) Vamos agora encontrar um plano que contenha todos os pontos da curva. Observe a expressão comum em
e
: ambas têm um fator
. Podemos eliminar
calculando
Como ambas são iguais a
, elas são iguais entre si:
Passo 5
A igualdade acima é uma relação linear entre
e
. Multiplicando em cruz obtemos uma equação do tipo
Esta é a equação de um plano em
(note que não aparece
na equação). Vamos analisar essa equação:
- O termo à esquerda é uma forma linear em
igual a zero. Portanto todos os pontos da curva satisfazem essa equação — ou seja, está contida nesse plano. - Esse plano contém o eixo
porque se e a equação é satisfeita para qualquer valor de . Logo todos os pontos (o eixo ) pertencem ao plano. - O vetor normal a esse plano é
. Como a componente de é zero, o plano é vertical (contém a direção do eixo ).
Portanto
está contida nesse plano que passa pelo eixo
.
Passo 6
Resumo geométrico útil (pré‑esboço): já vimos que
é a interseção do elipsóide
com o plano
A interseção de um elipsóide com um plano que o atravessa geralmente é uma elipse (ou uma curva elíptica). Vamos tornar isso mais concreto encontrando pontos notáveis da parametrização — isto ajuda muito para o esboço.
Passo 7
Pontos notáveis obtidos substituindo valores simples de
:
-
: então
Ponto no “polo norte” do elipsóide.
-
: então
Ponto no plano
(intersecção do plano com o plano horizontal).
-
: então
Ponto no “polo sul”.
-
: então
Esses quatro pontos mostram que a curva passa pelos dois polos do elipsóide (
) e pelos dois pontos horizontais
no plano
. Isso caracteriza uma elipse no plano que contém o eixo
.
Passo 8
Equação da elipse naquele plano (forma conveniente para desenhar): usando a relação
e
, eliminamos
e obtemos
Juntando com
(a relação linear entre
e
), vemos explicitamente que na coordenada
e
a curva satisfaz a equação de uma elipse com semi‑eixo (no sentido das coordenadas
e
) de comprimentos
e
, respectivamente. Geometricamente, essa elipse vive no plano inclinado que contém o eixo
e a reta em que os pontos
estão alinhados.
Passo 9
Como esboçar (passo a passo prático para a prova, sem calculadora):
- Desenhe o eixo
vertical. - No plano
desenhe a reta que passa pela origem com declive ; esse é o traço do plano no plano . - Trace o plano vertical que contém essa reta e o eixo
. - Nesse plano, desenhe uma elipse centrada na origem do plano (interseção com o plano
dá os pontos ; os extremos em são ). - Ligue esses pontos suavemente — o resultado é uma elipse que atravessa os polos
e os pontos horizontais dados acima. A curva é fechada e simétrica em relação ao plano .
Dica visual: se
a elipse é “mais larga” do que alta; se
é “mais alta”. Em qualquer caso ela é uma elipse plana passando pelo eixo
.
Resposta
(a) Para todo
,
, logo
está contida no elipsóide.
(b) está contida no plano
, que contém o eixo
.
(c) é a elipse dada pela interseção do elipsóide com esse plano; pontos notáveis:
e
.
(b)
(c)