Considere a curva C parametrizada por x=a \sin \alpha \sin t, y=b \cos \alpha \sin t, z=c \cos t, em que a, b, c, \alpha são constantes fixadas.
(a) Mostre que C está contida no elipsóide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
(b) Mostre que C também está contida em um plano que contém o eixo z.
(c) Faça um esboço da curva C

Passo 1

O enunciado dá a curva C paramétrica
x = a\sin\alpha\,\sin t,\qquad y = b\cos\alpha\,\sin t,\qquad z = c\cos t,
onde a,b,c,\alpha são constantes fixadas. As perguntas são:
(a) mostrar que C está contida no elipsóide \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1;
(b) mostrar que C também está contida em um plano que contém o eixo z;
(c) fazer um esboço da curva C (ou seja, descrever sua forma e pontos notáveis para desenhá‑la).
Informações relevantes dadas: as fórmulas paramétricas acima determinam todas as coordenadas (x,y,z) como funções do parâmetro t. Não há restrição explícita sobre t, então entendemos que t varia em [0,2\pi) para traçar a curva completa.

Passo 2

(a) Vamos verificar diretamente que qualquer ponto da curva satisfaz a equação do elipsóide. Para isso computamos cada termo da soma \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} substituindo x,y,z em termos de t.
Primeiro, calculemos \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}. Substituindo x=a\sin\alpha\,\sin t obtemos
\frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{\big(a\sin\alpha\,\sin t\big)^{2}}{a^{2}} = \sin^{2}\alpha\;\sin^{2}t.
Expliquei cada passo: eleva ao quadrado a\sin\alpha\,\sin t e divide por a^{2}, o que cancela a^{2}.
Agora \displaystyle \frac{y^{2}}{b^{2}}. Com y=b\cos\alpha\,\sin t temos
\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{\big(b\cos\alpha\,\sin t\big)^{2}}{b^{2}} = \cos^{2}\alpha\;\sin^{2}t.
Por fim \displaystyle \frac{z^{2}}{c^{2}}. Com z=c\cos t,
\frac{z^{2}}{c^{2}} = \frac{\big(c\cos t\big)^{2}}{c^{2}} = \cos^{2}t.

Passo 3

Agora somamos os três termos que acabamos de calcular:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = \sin^{2}\alpha\,\sin^{2}t + \cos^{2}\alpha\,\sin^{2}t + \cos^{2}t.
Note que os dois primeiros termos têm fator \sin^{2}t, então podemos escrevê‑los juntos:
\sin^{2}t\big(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\big) + \cos^{2}t.
Aqui uso a identidade trigonométrica básica \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1 (que vale para qualquer ângulo \alpha). Portanto o parêntese é 1, e obtemos
\sin^{2}t + \cos^{2}t = 1,
usando agora a mesma identidade para o ângulo t. Concluímos que para todo t,
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1.
Isso demonstra que todo ponto (x,y,z) da curva C satisfaz a equação do elipsóide, logo C está contida nele.
Observação didática rápida: a estratégia foi substituir diretamente a parametrização na equação do elipsóide e usar a identidade trigonométrica \sin^{2}+\cos^{2}=1. Essa é a técnica padrão quando se quer mostrar que uma parametrização pertence a uma superfície dada por uma equação.

Passo 4

(b) Vamos agora encontrar um plano que contenha todos os pontos da curva. Observe a expressão comum em x e y: ambas têm um fator \sin t. Podemos eliminar \sin t calculando
\frac{x}{a\sin\alpha} = \sin t,\qquad \frac{y}{b\cos\alpha} = \sin t.
Como ambas são iguais a \sin t, elas são iguais entre si:
\frac{x}{a\sin\alpha} = \frac{y}{b\cos\alpha}.

Passo 5

A igualdade acima é uma relação linear entre x e y. Multiplicando em cruz obtemos uma equação do tipo
b\cos\alpha\;x - a\sin\alpha\;y = 0.
Esta é a equação de um plano em \mathbb{R}^{3} (note que não aparece z na equação). Vamos analisar essa equação:
  • O termo à esquerda é uma forma linear em x,y igual a zero. Portanto todos os pontos da curva satisfazem essa equação — ou seja, C está contida nesse plano.
  • Esse plano contém o eixo z porque se x=0 e y=0 a equação é satisfeita para qualquer valor de z. Logo todos os pontos (0,0,z) (o eixo z) pertencem ao plano.
  • O vetor normal a esse plano é \mathbf{n}=(b\cos\alpha,\,-a\sin\alpha,\,0). Como a componente z de \mathbf{n} é zero, o plano é vertical (contém a direção do eixo z).
Portanto C está contida nesse plano que passa pelo eixo z.

Passo 6

Resumo geométrico útil (pré‑esboço): já vimos que C é a interseção do elipsóide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com o plano
b\cos\alpha\;x - a\sin\alpha\;y = 0.
A interseção de um elipsóide com um plano que o atravessa geralmente é uma elipse (ou uma curva elíptica). Vamos tornar isso mais concreto encontrando pontos notáveis da parametrização — isto ajuda muito para o esboço.

Passo 7

Pontos notáveis obtidos substituindo valores simples de t:
  • t=0: \sin 0 = 0,\\ \cos 0 = 1 então
(x,y,z) = (0,0,c).
Ponto no “polo norte” do elipsóide.
  • t=\tfrac{\pi}{2}: \sin\tfrac{\pi}{2}=1,\\ \cos\tfrac{\pi}{2}=0 então
(x,y,z) = (a\sin\alpha,\; b\cos\alpha,\; 0).
Ponto no plano z=0 (intersecção do plano com o plano horizontal).
  • t=\pi: \sin\pi=0,\\ \cos\pi=-1 então
(x,y,z) = (0,0,-c).
Ponto no “polo sul”.
  • t=\tfrac{3\pi}{2}: \sin\tfrac{3\pi}{2}=-1,\\ \cos\tfrac{3\pi}{2}=0 então
(x,y,z) = (-a\sin\alpha,\; -b\cos\alpha,\; 0).
Esses quatro pontos mostram que a curva passa pelos dois polos do elipsóide ( z=\pm c) e pelos dois pontos horizontais \pm(a\sin\alpha,\;b\cos\alpha,0) no plano z=0. Isso caracteriza uma elipse no plano que contém o eixo z.

Passo 8

Equação da elipse naquele plano (forma conveniente para desenhar): usando a relação \displaystyle \frac{x}{a\sin\alpha}=\sin t e \displaystyle \frac{z}{c}=\cos t, eliminamos t e obtemos
\left(\frac{x}{a\sin\alpha}\right)^{2} + \left(\frac{z}{c}\right)^{2} = \sin^{2}t + \cos^{2}t = 1.
Juntando com y = \dfrac{b\cos\alpha}{a\sin\alpha}\,x (a relação linear entre x e y), vemos explicitamente que na coordenada x e z a curva satisfaz a equação de uma elipse com semi‑eixo (no sentido das coordenadas x e z) de comprimentos a\sin\alpha e c, respectivamente. Geometricamente, essa elipse vive no plano inclinado que contém o eixo z e a reta em que os pontos (x,y) estão alinhados.

Passo 9

Como esboçar (passo a passo prático para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe o eixo z vertical.
  2. No plano xy desenhe a reta que passa pela origem com declive m=\dfrac{b\cos\alpha}{a\sin\alpha}; esse é o traço do plano no plano z=0.
  3. Trace o plano vertical que contém essa reta e o eixo z.
  4. Nesse plano, desenhe uma elipse centrada na origem do plano (interseção com o plano z=0 dá os pontos \pm(a\sin\alpha,\;b\cos\alpha,0); os extremos em z são (0,0,\pm c)).
  5. Ligue esses pontos suavemente — o resultado é uma elipse que atravessa os polos (0,0,\pm c) e os pontos horizontais dados acima. A curva é fechada e simétrica em relação ao plano z=0.
Dica visual: se a\sin\alpha>c a elipse é “mais larga” do que alta; se a\sin\alpha<c é “mais alta”. Em qualquer caso ela é uma elipse plana passando pelo eixo z.

Resposta

(a) Para todo t, \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, logo C está contida no elipsóide.
(b) C está contida no plano b\cos\alpha\;x - a\sin\alpha\;y = 0, que contém o eixo z.
(c) C é a elipse dada pela interseção do elipsóide com esse plano; pontos notáveis: (0,0,\pm c) e \big(\pm a\sin\alpha,\;\pm b\cos\alpha,\;0\big).

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