Considere a curva C: r^2=2 sen 2 theta.
(9.1) Determine uma equação polar da curva C^prime simétrica de C em relação:
© ao pólo.

Passo 1

Estamos dadas a curva em coordenadas polares C: r^2 = 2,sin(2theta), e queremos achar a curva C', que é a simétrica de C em relação ao pólo. O conteúdo aqui é simetria polar em relação ao pólo, e vamos precisar usar a regra de reflexão de um ponto (r,theta) no pólo.

Passo 2

Para refletir uma curva em relação ao pólo, cada ponto (r,theta) se envia em (r,theta + pi). Em termos da equação polar, basta substituir theta por theta + pi.

Passo 3

Aplicamos a substituição na equação original:
r^2 = 2,sinl(2(theta + pi)r)

Passo 4

Agora usamos a identidade trigonométrica sin(alpha + 2pi) = sinalpha. Observando que
2(theta + pi) = 2theta + 2pi
vemos que
sinl(2theta + 2pir) = sin(2theta)

Passo 5

Portanto a equação simulada torna-se
r^2 = 2,sin(2theta)

Passo 6

Ou seja, a curva é idêntica à original; ela é simétrica de si mesma em relação ao pólo.

Resposta

A equação polar de C' é
r^2 = 2,sin(2theta)

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