Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: calcular a integral de
em relação a
. Isso pertence ao estudo de integrais, mais especificamente à técnica de substituição, que é super útil quando a integral tem uma função composta. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída, simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro do expoente:
. Vamos chamar isso de
. Então, definimos:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Passo 3
Observando a nossa integral original, notamos que temos um
multiplicando
. Isso é perfeito porque temos um
na expressão para
. Vamos reorganizar para expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
, a integral fica:
A segunda parte
já sabemos como substituir, mas a primeira parte
ainda é complicada. No entanto, percebemos que
, e já temos
relacionado a
porque
. Então, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
E para a segunda parte:
Passo 6
Agora, vamos resolver as duas integrais:
-
: Para isso, usamos integração por partes ou reconhecemos que a integral de é .
-
:
Passo 7
Agora, juntando tudo e substituindo
de volta na expressão, temos:
Simplificando os termos:
Os termos
e
se cancelam, deixando:
Resposta
A integral
é igual a: