integral(x^5+x^2) e^x^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema: calcular a integral de (x^5 + x^2) e^x^3 + 1 em relação a x. Isso pertence ao estudo de integrais, mais especificamente à técnica de substituição, que é super útil quando a integral tem uma função composta. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro do expoente: x^3 + 1. Vamos chamar isso de u. Então, definimos:
u = x^3 + 1
Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 3x^2
Isso significa que:
du = 3x^2 dx

Passo 3

Observando a nossa integral original, notamos que temos um x^2 multiplicando e^x^3 + 1. Isso é perfeito porque temos um x^2 na expressão para du. Vamos reorganizar para expressar x^2 dx em termos de du:
x^2 dx = du3

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u. Substituindo u e x^2 dx, a integral fica:
integral (x^5 + x^2) e^u dx = integral x^5 e^u dx + integral x^2 e^u dx
A segunda parte integral x^2 e^u dx já sabemos como substituir, mas a primeira parte integral x^5 e^u dx ainda é complicada. No entanto, percebemos que x^5 = x^3 cdot x^2, e já temos x^3 relacionado a u porque u = x^3 + 1. Então, podemos expressar x^3 em termos de u:
x^3 = u - 1

Passo 5

Substituindo x^3 = u - 1 e x^2 dx = du3 na integral, temos:
integral x^5 e^u dx = integral (u - 1) e^u cdot du3 = 13 integral (u - 1) e^u du
E para a segunda parte:
integral x^2 e^u dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u du

Passo 6

Agora, vamos resolver as duas integrais:
  1. 13 integral (u - 1) e^u du: Para isso, usamos integração por partes ou reconhecemos que a integral de u e^u é u e^u - e^u.
13 ( u e^u - e^u ) + C
  1. 13 integral e^u du:
13 e^u + C

Passo 7

Agora, juntando tudo e substituindo u = x^3 + 1 de volta na expressão, temos:
13 ( (x^3 + 1) e^x^3 + 1 - e^x^3 + 1 ) + 13 e^x^3 + 1 + C
Simplificando os termos:
13 (x^3 + 1) e^x^3 + 1 - 13 e^x^3 + 1 + 13 e^x^3 + 1 + C
Os termos -13 e^x^3 + 1 e +13 e^x^3 + 1 se cancelam, deixando:
13 (x^3 + 1) e^x^3 + 1 + C

Resposta

A integral integral(x^5+x^2) e^x^3+1 d x é igual a:
13 (x^3 + 1) e^x^3 + 1 + C

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