Considere a curva
Determine os pontos do traço de
onde a curvatura é máxima e os pontos onde é mínima.
Passo 1
Estamos diante de uma curva paramétrica que descreve uma elipse:
. O objetivo é achar os pontos onde a curvatura é máxima e mínima. Para isso, vamos usar a definição de curvatura de uma curva no plano em termos das derivadas de
e
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
:
Passo 3
A curvatura de uma curva paramétrica
é dada por:
Substituindo as derivadas:
e
Logo,
Passo 4
Para encontrar os extremos de
, percebemos que o numerador é constante e a variação vem do denominador
. A curvatura é máxima quando o denominador é mínimo, isto é,
, e é mínima quando o denominador é máximo, isto é,
.
Passo 5
Nos casos de
, temos
, e os pontos são
ou seja
e
. Nos casos de
, temos
, e os pontos são
ou seja
e
.
Resposta
Curvatura máxima em (2,0) e (-2,0) e curvatura mínima em (0,1) e (0,-1).