Considere a curva
c: R & R^2 t & mapsto(2 cos t, sen t)
Determine os pontos do traço de c onde a curvatura é máxima e os pontos onde é mínima.

Passo 1

Estamos diante de uma curva paramétrica que descreve uma elipse: c(t) = (2cos t, sin t). O objetivo é achar os pontos onde a curvatura é máxima e mínima. Para isso, vamos usar a definição de curvatura de uma curva no plano em termos das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de x(t)=2cos t e y(t)=sin t:
x'(t) = -2sin t,
x''(t) = -2cos t,
y'(t) = cos t,
y''(t) = -sin t

Passo 3

A curvatura de uma curva paramétrica (x(t),y(t)) é dada por:
kappa(t) = |x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)|l(x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2
Substituindo as derivadas:
x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t) = (-2sin t)(-sin t) - (cos t)(-2cos t) = 2sin^2 t + 2cos^2 t = 2,
e
x'(t)^2 + y'(t)^2 = 4sin^2 t + cos^2 t = 1 + 3sin^2 t
Logo,
kappa(t) = 2l(1 + 3sin^2 tr)^3/2

Passo 4

Para encontrar os extremos de kappa(t), percebemos que o numerador é constante e a variação vem do denominador (1+3sin^2 t)^3/2. A curvatura é máxima quando o denominador é mínimo, isto é, sin^2 t = 0, e é mínima quando o denominador é máximo, isto é, sin^2 t = 1.

Passo 5

Nos casos de sin^2 t = 0, temos t = kpi, e os pontos são
(2cos(kpi), sin(kpi)) = ((-1)^k cdot 2, 0),
ou seja (2,0) e (-2,0). Nos casos de sin^2 t = 1, temos t = tfracpi2 + kpi, e os pontos são
(2cos(tfracpi2 + kpi), sin(tfracpi2 + kpi)) = (0, (-1)^k),
ou seja (0,1) e (0,-1).

Resposta

Curvatura máxima em (2,0) e (-2,0) e curvatura mínima em (0,1) e (0,-1).

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