a) Verifique se as séries abaixo convergem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b) Das séries convergentes acima determine um valor aproximado para as mesmas com erro inferior à 0,01 .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b) Das séries convergentes acima determine um valor aproximado para as mesmas com erro inferior à 0,01 .
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência de seis séries alternadas e, depois, dar uma aproximação (com erro < 0,01) das séries que convergem. Vamos usar principalmente o critério de Leibniz (séries alternadas) e o teste da divergência (termo geral não tende a zero) e, na parte b), a estimativa de resto da série alternada: |R_N| ≤ a_{N+1}.
Passo 2
Para cada série a_n * (–1)^n ou (–1)^{n+1}, identificamos a_n ≥ 0 e verificamos: (i) a_n → 0? (ii) (a_n) é monótona decrescente? Se sim, converge (condicionalmente). Se não, ou se a_n↛0, diverge.
Passo 3
a) a_n = 1/√n → 0 e é decrescente. Logo, converge condicionalmente (não converge absolutamente, pois ∑1/√n diverge).
b) a_n = (n/10)^n não tende a zero (cresce para n≥10). Pelo teste da divergência, a série diverge.
c) a_n = (ln n)/n → 0 e, para n grande, é decrescente. Converge condicionalmente (∑(ln n)/n diverge).
d) a_n = ln(1+1/n) → 0 e é decrescente. Converge condicionalmente (∑ln(1+1/n) ~ ∑1/n diverge).
e) a_n = √(n+1)/(√n+1) → 1 quando n→∞. Termo não vai a zero, a série diverge.
f) a_n = √(n+√n) − √n → 1/2 ≠ 0. Pelo teste da divergência, diverge.
b) a_n = (n/10)^n não tende a zero (cresce para n≥10). Pelo teste da divergência, a série diverge.
c) a_n = (ln n)/n → 0 e, para n grande, é decrescente. Converge condicionalmente (∑(ln n)/n diverge).
d) a_n = ln(1+1/n) → 0 e é decrescente. Converge condicionalmente (∑ln(1+1/n) ~ ∑1/n diverge).
e) a_n = √(n+1)/(√n+1) → 1 quando n→∞. Termo não vai a zero, a série diverge.
f) a_n = √(n+√n) − √n → 1/2 ≠ 0. Pelo teste da divergência, diverge.
Passo 4
Agora, para (b): dado que a_{N+1} é a máxima do resto, basta achar N tal que a_{N+1}<0,01 e usar S≈S_N.
Séries convergentes e N mínimo para |R_N|<0,01:
– (a) a_{N+1}=1/√(N+1)<0,01 ⇒ N+1>10000 ⇒ N≥9999. Logo S_a≈S_{9999}. Numericamente sabe-se que
Séries convergentes e N mínimo para |R_N|<0,01:
– (a) a_{N+1}=1/√(N+1)<0,01 ⇒ N+1>10000 ⇒ N≥9999. Logo S_a≈S_{9999}. Numericamente sabe-se que
η(½)=∑_{n=1}∞(–1){n–1}/√n≈+0.6057
e nossa série é –η(½),
portanto S_a≈–0.6057.
– © a_{N+1}=(ln(N+1))/(N+1)<0,01 ⇒ N+1≥700 ⇒ N≈699. Logo S_c≈S_{699}. Computacionalmente obtém-se S_c≈0.16.
– (d) a_{N+1}=ln(1+1/(N+1))<0,01 ⇒ 1/(N+1)<0,01 ⇒ N+1>100 ⇒ N≥99. Logo S_d≈S_{99}. Numericamente S_d≈0.45.
e nossa série é –η(½),
portanto S_a≈–0.6057.
– © a_{N+1}=(ln(N+1))/(N+1)<0,01 ⇒ N+1≥700 ⇒ N≈699. Logo S_c≈S_{699}. Computacionalmente obtém-se S_c≈0.16.
– (d) a_{N+1}=ln(1+1/(N+1))<0,01 ⇒ 1/(N+1)<0,01 ⇒ N+1>100 ⇒ N≥99. Logo S_d≈S_{99}. Numericamente S_d≈0.45.
Resposta
Convergem condicionalmente: (a), © e (d). Divergem: (b), (e) e (f).
Aproximações com erro < 0,01:
• S_a = ∑_{n=1}^∞ (–1)^n/√n ≈ –0.6057
• S_c = ∑_{n=1}^∞ (–1)^n (ln n)/n ≈ 0.16
• S_d = ∑_{n=1}^∞ (–1)^{n+1} ln(1+1/n) ≈ 0.45
• S_a = ∑_{n=1}^∞ (–1)^n/√n ≈ –0.6057
• S_c = ∑_{n=1}^∞ (–1)^n (ln n)/n ≈ 0.16
• S_d = ∑_{n=1}^∞ (–1)^{n+1} ln(1+1/n) ≈ 0.45