Suponha que sumn=1^infty an seja uma série convergente de termos não negativos. Com base neste fato, responda:
a) sumn=1^infty ann converge ou diverge? Justifique.
b) sumn=1^infty n ann^2+1 converge ou diverge? Justifique.
c) d sumn=1^infty an(an)^2+1 converge ou diverge? Justifique.

Passo 1

Temos a série sumn=1^inftyan convergente com an>=0. Vamos usar testes de comparação direta, já que conhecemos a convergência de sum an e queremos comparar cada nova série a ela.

Passo 2

Para (a), note que para todo n,
0 <= ann <= an, pois n>=1. Como sum an converge e os termos são não negativos, pelo teste da comparação direta sumann também converge.

Passo 3

Para (b), observe que
0 <= n ann^2+1 =ancdotnn^2+1 . Já vimos que sumann converge, então pelo teste da comparação direta sumn ann^2+1 converge.

Passo 4

Para ©, note que para todo n
0 <= anan^2+1 <= an, pois an^2+1>=1. Logo, como sum an converge, novamente pelo teste da comparação direta sumanan^2+1 converge.

Resposta

a) Converge; b) Converge; c) Converge.

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