Para cada uma das seguintes curvas, esboce o traço e determine aT e aN :
(a) c(t)=(t, 1+t^2), t in R;
(b) c(t)=(t, log t), t in R^+;
© c(t)=(e^t, e^-t), t in R.

Passo 1

Estamos trabalhando com acelerações tangencial e normal em curvas paramétricas no plano. Para isso, em cada curva c(t) vamos: 1) calcular a velocidade v(t)=c′(t) e a aceleração a(t)=c″(t); 2) obter a velocidade escalar |v|; 3) usar as fórmulas aT=vcdot a|v| e aN=raiz|a|^2 - aT^2. Também vamos esboçar cada traço: (a) é uma parábola, (b) o gráfico de ln x, © o ramo de hipérbole xy=1 no primeiro quadrante.

Passo 2

Para (a) c(t)=(t,1+t^2):
  • Velocidade: v(t)=(1,2t).
  • Aceleração: a(t)=(0,2).
  • Velocidade escalar: |v|=raiz1+4t^2.
  • Produto escalar: vcdot a=1cdot0+2tcdot2=4t.
  • Assim aT=4traiz1+4t^2 e
    aN=raiz4 - l(4traiz1+4t^2r)^2=2raiz1+4t^2.
    O traço é a parábola com vértice em (0,1), abrindo para cima.

Passo 3

Para (b) c(t)=(t,ln t), t>0:
  • Velocidade: v(t)=(1,1/t).
  • Aceleração: a(t)=(0,-1/t^2).
  • Velocidade escalar: |v|=raiz1+1/t^2=raizt^2+1t.
  • Produto escalar: vcdot a=1cdot0+(1/t)(-1/t^2)=-1/t^3.
  • Logo aT=-1/t^3raizt^2+1/t=-1t^2raizt^2+1 e
    aN=raiz1t^4-l(-1t^2raizt^2+1r)^2=1traizt^2+1.
    O traço é o gráfico de y=ln x para x>0.

Passo 4

Para © c(t)=(e^t,e^-t):
  • Velocidade: v(t)=(e^t,-e^-t).
  • Aceleração: a(t)=(e^t,e^-t).
  • Velocidade escalar: |v|=raize^2t+e^-2t.
  • Produto escalar: vcdot a=e^tcdot e^t +(-e^-t)cdot e^-t=e^2t-e^-2t.
  • Logo aT=e^2t-e^-2traize^2t+e^-2t e
    aN=raize^2t+e^-2t-l(e^2t-e^-2traize^2t+e^-2tr)^2=2raize^2t+e^-2t.
    O traço é o ramo da hipérbole xy=1 com x>0,y>0.

Resposta

(a) a_T=\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}},\quad a_N=\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}};
(b) a_T=-\frac{1}{t2\sqrt{t2+1}},\quad a_N=\frac{1}{t\sqrt{t^2+1}};
© a_T=\frac{e{2t}-e{-2t}}{\sqrt{e{2t}+e{-2t}}},\quad a_N=\frac{2}{\sqrt{e{2t}+e{-2t}}}.

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