Para cada uma das seguintes curvas, esboce o traço e determine
e
:
(a)
;
(b)
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Estamos trabalhando com acelerações tangencial e normal em curvas paramétricas no plano. Para isso, em cada curva c(t) vamos: 1) calcular a velocidade v(t)=c′(t) e a aceleração a(t)=c″(t); 2) obter a velocidade escalar
; 3) usar as fórmulas
e
. Também vamos esboçar cada traço: (a) é uma parábola, (b) o gráfico de
, © o ramo de hipérbole
no primeiro quadrante.
Passo 2
Para (a)
:
- Velocidade:
. - Aceleração:
. - Velocidade escalar:
. - Produto escalar:
. - Assim
e
.
O traço é a parábola com vértice em, abrindo para cima.
Passo 3
Para (b)
:
- Velocidade:
. - Aceleração:
. - Velocidade escalar:
. - Produto escalar:
. - Logo
e
.
O traço é o gráfico depara .
Passo 4
Para ©
:
- Velocidade:
. - Aceleração:
. - Velocidade escalar:
. - Produto escalar:
. - Logo
e
.
O traço é o ramo da hipérbolecom .
Resposta
(a) a_T=\frac{4t}{\sqrt{1+4t^2}},\quad a_N=\frac{2}{\sqrt{1+4t^2}};
(b) a_T=-\frac{1}{t2\sqrt{t2+1}},\quad a_N=\frac{1}{t\sqrt{t^2+1}};
© a_T=\frac{e{2t}-e{-2t}}{\sqrt{e{2t}+e{-2t}}},\quad a_N=\frac{2}{\sqrt{e{2t}+e{-2t}}}.
(b) a_T=-\frac{1}{t2\sqrt{t2+1}},\quad a_N=\frac{1}{t\sqrt{t^2+1}};
© a_T=\frac{e{2t}-e{-2t}}{\sqrt{e{2t}+e{-2t}}},\quad a_N=\frac{2}{\sqrt{e{2t}+e{-2t}}}.