Nos itens a seguir, dada a função periódica f(t), no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função f(t) é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para n=1, n=5, n=10, n=30 e n=50 (indicar o software utilizado).
f(t)=t,-pi <= t <= pi

Passo 1

A função dada é f(t)=t definida em −π≤t≤π com extensão periódica de período 2π; o conteúdo é Série de Fourier por definição e análise de paridade para simplificar os coeficientes.
Como f(−t)=−t=−f(t), f é ímpar. Em Séries de Fourier, funções ímpares têm todos os coeficientes a₀ e a_n iguais a zero, sobrando somente termos senoidais b_n·sin(n t).

Passo 2

Os coeficientes b_n são dados por
bn=1piintegral-pi^pit,sin(nt),dt
como a integranda é produto de ímpar (t) por ímpar (sin(nt)), o resultado é par, então podemos usar simetria:
bn=2piintegral0^pit,sin(nt),dt

Passo 3

Para avaliar integral0^pit,sin(nt),dt, usamos integração por partes: deixe u=t, dv=sin(nt)dt, resultando em
integral0^pit,sin(nt),dt=l[-tcos(nt)nr]0^pi+1nintegral0^picos(nt),dt
que leva a bn=2(-1)^n+1/n.
Assim a Série de Fourier por definição é
f(t)=sumn=1^inftybn,sin(nt)=2sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nt)

Passo 4

Para esboçar os somatórios parciais SN(t)=2sumn=1^Ntfrac(-1)^n+1nsin(nt) para N=1,5,10,30,50, utilizei Python com NumPy e Matplotlib. Observa-se convergência ao sinal de onda com sobremola de Gibbs próximo a t=±π.

Resposta

f(t)=2sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nt)

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