Nos itens a seguir, dada a função periódica
, no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função
é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para
e
(indicar o software utilizado).
Passo 1
A função dada é f(t)=t definida em −π≤t≤π com extensão periódica de período 2π; o conteúdo é Série de Fourier por definição e análise de paridade para simplificar os coeficientes.
Como f(−t)=−t=−f(t), f é ímpar. Em Séries de Fourier, funções ímpares têm todos os coeficientes a₀ e a_n iguais a zero, sobrando somente termos senoidais b_n·sin(n t).
Como f(−t)=−t=−f(t), f é ímpar. Em Séries de Fourier, funções ímpares têm todos os coeficientes a₀ e a_n iguais a zero, sobrando somente termos senoidais b_n·sin(n t).
Passo 2
Os coeficientes b_n são dados por
como a integranda é produto de ímpar (t) por ímpar (sin(nt)), o resultado é par, então podemos usar simetria:
Passo 3
Para avaliar
, usamos integração por partes: deixe u=t, dv=sin(nt)dt, resultando em
que leva a
.
Assim a Série de Fourier por definição é
Assim a Série de Fourier por definição é
Passo 4
Para esboçar os somatórios parciais
para N=1,5,10,30,50, utilizei Python com NumPy e Matplotlib. Observa-se convergência ao sinal de onda com sobremola de Gibbs próximo a t=±π.