Exercício 18.1. Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
(b) Encontre a solução satisfazendo as condições
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos um sistema não homogêneo de equações diferenciais lineares e queremos encontrar a solução que atende às condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado e depois encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, que é obtido retirando os termos não homogêneos (aqueles que não dependem de
):
Para resolver esse sistema, vamos escrever a matriz dos coeficientes e encontrar seus autovalores.
Passo 3
A matriz dos coeficientes é:
Para encontrar os autovalores (
), resolvemos o determinante
:
Simplificando:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para
:
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema não homogêneo. Observamos que os termos não homogêneos são proporcionais a
. Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Derivando
:
Substituindo
e
no sistema original:
Simplificando as equações:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações para
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo
na equação (1):
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução geral do sistema homogêneo com a solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais
:
Isso nos leva ao sistema:
Simplificando:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é: