Exercício 18.1. Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
l x1^prime=2 x1+5 x2+2 e^-2 t x2^prime=x1-2 x2-e^-2 t
(b) Encontre a solução satisfazendo as condições x1(0)=1 e x2(0)=-1.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos um sistema não homogêneo de equações diferenciais lineares e queremos encontrar a solução que atende às condições iniciais e . Para resolver isso, vamos encontrar a solução geral do sistema homogêneo associado e depois encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado, que é obtido retirando os termos não homogêneos (aqueles que não dependem de x1^prime &= 2x1 + 5x2 x2^prime &= x1 - 2x2 ):
Para resolver esse sistema, vamos escrever a matriz dos coeficientes e encontrar seus autovalores.

Passo 3

A matriz dos coeficientes é:
A = 2 & 5 1 & -2
Para encontrar os autovalores ( det 2 - lambda & 5 1 & -2 - lambda = (2 - lambda)(-2 - lambda) - 5 cdot 1 = 0 ), resolvemos o determinante (2 - lambda)(-2 - lambda) - 5 = (lambda^2 + 0lambda - 4) - 5 = lambda^2 - 9 = 0 :
lambda^2 - 9 = 0 implies lambda = 3 ou lambda = -3
Simplificando:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Agora, para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para (A - 3I)v = 0 implies 2 - 3 & 5 1 & -2 - 3 v1 v2 = -1 & 5 1 & -5 v1 v2 = 0 0 :
- v1 + 5 v2 = 0 implies v1 = 5 v2
Isso nos dá a equação:
5 1
Podemos escolher (A + 3I)v = 0 implies 2 + 3 & 5 1 & -2 + 3 v1 v2 = 5 & 5 1 & 1 v1 v2 = 0 0 , então o autovetor é 5 v1 + 5 v2 = 0 implies v1 = -v2 .
Para -1 1 :
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema homogêneo:
xh(t) = C1 e^3t 5 1 + C2 e^-3t -1 1
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( xp(t) = A B e^-2t ) para o sistema não homogêneo. Observamos que os termos não homogêneos são proporcionais a . Vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Derivando xp^prime(t) = -2A -2B e^-2t :
-2A e^-2t = 2(A e^-2t) + 5(B e^-2t) + 2 e^-2t -2B e^-2t = A e^-2t - 2(B e^-2t) - e^-2t
Substituindo -2A = 2A + 5B + 2 -2B = A - 2B - 1 e no sistema original:
Simplificando as equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações para -2A = 2A + 5B + 2 implies -4A - 5B = 2 (1) e -2B = A - 2B - 1 implies -A = -1 implies A = 1 :
Da primeira equação:
-4(1) - 5B = 2 implies -4 - 5B = 2 implies -5B = 6 implies B = -65
Da segunda equação:
Substituindo na equação (1):

Passo 9

Então, a solução particular é:
xp(t) = 1 -65 e^-2t

Passo 10

A solução geral do sistema não homogêneo é a soma da solução geral do sistema homogêneo com a solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 e^3t 5 1 + C2 e^-3t -1 1 + 1 -65 e^-2t

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais 1 -1 :
1 -1 = C1 5 1 + C2 -1 1 + 1 -65
Isso nos leva ao sistema:
1 = 5C1 - C2 + 1 -1 = C1 + C2 - 65
Simplificando:
0 = 5C1 - C2 -1 + 65 = C1 + C2 implies 15 = C1 + C2

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
C2 = 5C1
Substituindo na segunda equação:
15 = C1 + 5C1 = 6C1 implies C1 = 130
Então:
C2 = 5 cdot 130 = 16

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:
x(t) = 130 e^3t 5 1 + 16 e^-3t -1 1 + 1 -65 e^-2t

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