Considere a curva C: x(t)=e^-t cos (t), u(t)=e^-t sen(t), 0 <= t <= 2 pi.
Determine os pontos P=(x, y) in C tais que a reta tangente a C em P é horizontal e os pontos em que ela é vertical.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelas funções paramétricas:
x(t) = e^-t cos(t)
y(t) = e^-t sin(t)
para $ 0 \leq t \leq 2\pi $.
O objetivo é encontrar os pontos $ P = (x, y) $ na curva onde a reta tangente é horizontal e onde é vertical. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como encontrar a reta tangente a uma curva paramétrica. Para isso, usamos as derivadas $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $. A inclinação da reta tangente é dada por:
dxdt
  • Reta tangente horizontal: ocorre quando $ \frac{dy}{dx} = 0 $, ou seja, quando $ \frac{dy}{dt} = 0 $ e $ \frac{dx}{dt} \neq 0 $.
  • Reta tangente vertical: ocorre quando $ \frac{dx}{dt} = 0 $ e $ \frac{dy}{dt} \neq 0 $.
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ para identificar esses pontos.

Passo 3

Calculando $ \frac{dx}{dt} $:
dxdt
Calculando $ \frac{dy}{dt} $:
dxdt = ddt ( e^-t cos(t) ) = -e^-t cos(t) - e^-t sin(t) = -e^-t (cos(t) + sin(t))

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de $ t $ que fazem a reta tangente ser horizontal. Para isso, igualamos $ \frac{dy}{dt} = 0 $:
t
Como $ e^{-t} $ nunca é zero, temos:
dydt = 0
Isso acontece quando $ t = \frac{\pi}{4} $ e $ t = \frac{5\pi}{4} $ no intervalo $ [0, 2\pi] $.

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar os valores de $ t $ que fazem a reta tangente ser vertical. Para isso, igualamos $ \frac{dx}{dt} = 0 $:
t
Novamente, como $ e^{-t} $ nunca é zero, temos:
dxdt = 0
Isso ocorre quando $ t = \frac{3\pi}{4} $ e $ t = \frac{7\pi}{4} $ no intervalo $ [0, 2\pi] $.

Passo 6

Agora que temos os valores de $ t $ onde as tangentes são horizontais e verticais, vamos encontrar os pontos $ P = (x, y) $.
Para $ t = \frac{\pi}{4} $:
t
P = (x, y)
Então, $ P = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}}, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}} \right) $.
Para $ t = \frac{5\pi}{4} $:
t = pi4
x = e^-pi4 cos(pi4) = e^-pi4 cdot raiz22
Então, $ P = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{5\pi}{4}}, -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{5\pi}{4}} \right) $.
Para $ t = \frac{3\pi}{4} $:
y = e^-pi4 sin(pi4) = e^-pi4 cdot raiz22
P = ( raiz22 e^-pi4, raiz22 e^-pi4 )
Então, $ P = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{3\pi}{4}}, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{3\pi}{4}} \right) $.
Para $ t = \frac{7\pi}{4} $:
t = 5pi4
x = e^-5pi4 cos(5pi4) = e^-5pi4 cdot (-raiz22)
Então, $ P = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{7\pi}{4}}, -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{7\pi}{4}} \right) $.

Resposta

Os pontos $ P = (x, y) $ na curva onde a reta tangente é horizontal são:
P = (x, y)
( raiz22 e^-pi4, raiz22 e^-pi4 )
E os pontos onde a reta tangente é vertical são:
( -raiz22 e^-5pi4, -raiz22 e^-5pi4 )
( -raiz22 e^-3pi4, raiz22 e^-3pi4 )

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