Considere a curva
.
Determine os pontos
tais que a reta tangente a
em
é horizontal e os pontos em que ela é vertical.
Determine os pontos
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelas funções paramétricas:
para $ 0 \leq t \leq 2\pi $.
O objetivo é encontrar os pontos $ P = (x, y) $ na curva onde a reta tangente é horizontal e onde é vertical. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar a reta tangente a uma curva paramétrica. Para isso, usamos as derivadas $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $. A inclinação da reta tangente é dada por:
- Reta tangente horizontal: ocorre quando $ \frac{dy}{dx} = 0 $, ou seja, quando $ \frac{dy}{dt} = 0 $ e $ \frac{dx}{dt} \neq 0 $.
- Reta tangente vertical: ocorre quando $ \frac{dx}{dt} = 0 $ e $ \frac{dy}{dt} \neq 0 $.
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ para identificar esses pontos.
Passo 3
Calculando $ \frac{dx}{dt} $:
Calculando $ \frac{dy}{dt} $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de $ t $ que fazem a reta tangente ser horizontal. Para isso, igualamos $ \frac{dy}{dt} = 0 $:
Como $ e^{-t} $ nunca é zero, temos:
Isso acontece quando $ t = \frac{\pi}{4} $ e $ t = \frac{5\pi}{4} $ no intervalo $ [0, 2\pi] $.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar os valores de $ t $ que fazem a reta tangente ser vertical. Para isso, igualamos $ \frac{dx}{dt} = 0 $:
Novamente, como $ e^{-t} $ nunca é zero, temos:
Isso ocorre quando $ t = \frac{3\pi}{4} $ e $ t = \frac{7\pi}{4} $ no intervalo $ [0, 2\pi] $.
Passo 6
Agora que temos os valores de $ t $ onde as tangentes são horizontais e verticais, vamos encontrar os pontos $ P = (x, y) $.
Para $ t = \frac{\pi}{4} $:
Então, $ P = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}}, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{\pi}{4}} \right) $.
Para $ t = \frac{5\pi}{4} $:
Então, $ P = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{5\pi}{4}}, -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{5\pi}{4}} \right) $.
Para $ t = \frac{3\pi}{4} $:
Então, $ P = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{3\pi}{4}}, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{3\pi}{4}} \right) $.
Para $ t = \frac{7\pi}{4} $:
Então, $ P = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{7\pi}{4}}, -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{7\pi}{4}} \right) $.
Resposta
Os pontos $ P = (x, y) $ na curva onde a reta tangente é horizontal são:
E os pontos onde a reta tangente é vertical são: