Considere a curva
.
Determine a equação polar de
, ou seja, escreva o raio
como função de
.
Determine a equação polar de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pelas funções paramétricas $ x(t) = e^{-t} \cos(t) $ e $ y(t) = e^{-t} \sin(t) $, para $ t $ no intervalo de 0 a $ 2\pi $. O conteúdo envolvido aqui é a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as coordenadas $ x $ e $ y $ com o raio $ r $ e o ângulo $ \theta $ na forma polar.
Passo 2
Primeiro, lembremos que nas coordenadas polares, as relações entre $ x $, $ y $, $ r $ e $ \theta $ são dadas por:
Essas equações relacionam as coordenadas cartesianas com as polares.
Passo 3
Agora, vamos comparar as equações paramétricas da curva com as relações polares. Temos:
Perceba que isso se assemelha a $ x = r \cos(\theta) $ e $ y = r \sin(\theta) $, onde $ r = e^{-t} $ e $ \theta = t $.
Passo 4
Observamos que $ \theta = t $. Portanto, podemos substituir $ t $ por $ \theta $ na expressão de $ r $:
Assim, encontramos a relação direta entre $ r $ e $ \theta $.
Resposta
A equação polar da curva $ \mathcal{C} $ é $ r = e^{-\theta} $.