Considere a curva C: x(t)=e^-t cos (t), u(t)=e^-t sen(t), 0 <= t <= 2 pi.
Determine a equação polar de C, ou seja, escreva o raio r=f(theta) como função de theta.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva definida pelas funções paramétricas $ x(t) = e^{-t} \cos(t) $ e $ y(t) = e^{-t} \sin(t) $, para $ t $ no intervalo de 0 a $ 2\pi $. O conteúdo envolvido aqui é a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar as coordenadas $ x $ e $ y $ com o raio $ r $ e o ângulo $ \theta $ na forma polar.

Passo 2

Primeiro, lembremos que nas coordenadas polares, as relações entre $ x $, $ y $, $ r $ e $ \theta $ são dadas por:
x
y
Essas equações relacionam as coordenadas cartesianas com as polares.

Passo 3

Agora, vamos comparar as equações paramétricas da curva com as relações polares. Temos:
x(t) = e^-t cos(t)
y(t) = e^-t sin(t)
Perceba que isso se assemelha a $ x = r \cos(\theta) $ e $ y = r \sin(\theta) $, onde $ r = e^{-t} $ e $ \theta = t $.

Passo 4

Observamos que $ \theta = t $. Portanto, podemos substituir $ t $ por $ \theta $ na expressão de $ r $:
theta = t
Assim, encontramos a relação direta entre $ r $ e $ \theta $.

Resposta

A equação polar da curva $ \mathcal{C} $ é $ r = e^{-\theta} $.

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