Considere a curva
.
Determine a área da região do plano
delimitada pela curva
e pelo segmento de reta horizontal que liga
a
.
Determine a área da região do plano
Passo 1
Beleza! Temos uma curva definida parametricamente e queremos encontrar a área da região no plano
que ela delimita junto com um segmento de reta horizontal. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração de curvas paramétricas, para resolver isso. Precisaremos entender como parametrizar a área e aplicar a fórmula de área para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva que temos. Ela é definida por:
com
variando de
a
. Essa parametrização nos dá as coordenadas
e
para cada valor de
nesse intervalo.
Passo 3
Para encontrar a área delimitada pela curva e pelo segmento de reta horizontal, vamos usar a fórmula da área para curvas parametrizadas, que é:
onde
e
são os valores de
que definem o intervalo da parametrização, nesse caso,
a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do produto:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando:
Podemos distribuir
:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, resolvemos cada integral separadamente.
Para a primeira integral, usamos a identidade
:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma fórmula de integração direta.
Para a segunda integral, usamos a identidade
:
Essa também pode ser resolvida por métodos de integração padrão.
Passo 7
Após resolver ambas as integrais, somamos os resultados e aplicamos o limite de
a
. Depois de simplificar, obtemos o valor da área.
Resposta
A área da região delimitada pela curva
e pelo segmento de reta horizontal é: