Considere a curva c correspondente ao gráfico da função f(x)=x^{2}. Calcule o coeficiente angular da secante a c passando pelos pontos (2,4) e (2+\Delta x, 4+ 4 \Delta x+\Delta x^{2} ). Calcule o coeficiente angular da tangente a c no ponto ( 2,4 ). Calcule o coeficiente angular da tangente a c no ponto ( a, a^{2} ), a qualquer.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} e a curva c correspondente ao seu gráfico. Os pontos dados são (2,4) e \bigl(2+\Delta x,\;4+4\Delta x+\Delta x^{2}\bigr). As perguntas são claras:
  • Calcular o coeficiente angular da secante a c que passa por (2,4) e \bigl(2+\Delta x,\;4+4\Delta x+\Delta x^{2}\bigr).
  • Calcular o coeficiente angular da tangente a c no ponto (2,4).
  • Calcular o coeficiente angular da tangente a c no ponto (a,a^{2}), com a qualquer.
Também note que \Delta x representa um pequeno incremento no argumento x; ao calcular a secante devemos ter \Delta x\neq0 (para evitar divisão por zero).

Passo 2

Definição prática do coeficiente angular da secante entre x=2 e x=2+\Delta x: é a razão das diferenças das ordenadas pela diferença das abscissas, isto é a diferença quociente
\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{(2+\Delta x)-2}.
Vamos calcular cada termo. Primeiro
f(2+\Delta x)=(2+\Delta x)^{2}=4+4\Delta x+\Delta x^{2},
e sabemos f(2)=4. Substituindo na diferença quociente:
\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{(2+\Delta x)-2} =\frac{\bigl(4+4\Delta x+\Delta x^{2}\bigr)-4}{\Delta x} =\frac{4\Delta x+\Delta x^{2}}{\Delta x}.
Agora simplificamos (lembrando que aqui usamos \Delta x\neq0):
\frac{4\Delta x+\Delta x^{2}}{\Delta x}=4+\Delta x.
Portanto, o coeficiente angular da secante é \,4+\Delta x\,.

Passo 3

Entendendo a tangente via limite (a ideia que você precisa dominar para a prova): o coeficiente angular da tangente em um ponto x_0 é o limite da diferença quociente quando o incremento tende a zero. Em notação geral, para f diferenciável,
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.
Esse limite, se existir, é o declive da reta tangente no ponto \bigl(x_0,f(x_0)\bigr). Então, para obter o coeficiente angular da tangente em um ponto, calcule o quociente incremental e faça \Delta x\to0.

Passo 4

Aplicando a ideia do Passo 3 ao ponto x_0=2: já encontramos a expressão do quociente incremental entre 2 e 2+\Delta x, é 4+\Delta x. Agora tomamos o limite quando \Delta x\to0:
\lim_{\Delta x\to0}\bigl(4+\Delta x\bigr)=4.
Assim, o coeficiente angular da tangente a c no ponto (2,4) é 4.

Passo 5

Agora o caso geral: coeficiente angular da tangente em (a,a^{2}). Repetimos o procedimento com x_0=a. O quociente incremental é
\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} =\frac{(a+\Delta x)^{2}-a^{2}}{\Delta x} =\frac{a^{2}+2a\Delta x+\Delta x^{2}-a^{2}}{\Delta x} =\frac{2a\Delta x+\Delta x^{2}}{\Delta x}.
Simplificando (para \Delta x\neq0):
\frac{2a\Delta x+\Delta x^{2}}{\Delta x}=2a+\Delta x.
Tomando o limite \Delta x\to0 para obter o declive da tangente:
\lim_{\Delta x\to0}\bigl(2a+\Delta x\bigr)=2a.
Portanto, o coeficiente angular da tangente em (a,a^{2}) é 2a. Observação prática: isso mostra a derivada de f(x)=x^{2} é f'(x)=2x, que é uma ferramenta rápida para a prova.

Passo 6

Dica rápida de exame: para funções polinomiais simples use sempre o quociente incremental e simplifique cancelando o fator \Delta x (ou h), depois faça o limite. Com prática isso vira automático; por exemplo, para a=3 a tangente tem declive 2\cdot3=6. Você consegue aplicar o mesmo padrão para outras potências x^{n}.

Resposta

Coeficiente angular da secante: 4+\Delta x
Coeficiente angular da tangente em (2,4): 4
Coeficiente angular da tangente em (a,a^{2}): 2a

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