Considere a curva
correspondente ao gráfico da função
. Calcule o coeficiente angular da secante a
passando pelos pontos
e
). Calcule o coeficiente angular da tangente a
no ponto ( 2,4 ). Calcule o coeficiente angular da tangente a
no ponto (
),
qualquer.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a curva
correspondente ao seu gráfico. Os pontos dados são
e
. As perguntas são claras:
- Calcular o coeficiente angular da secante a
que passa por e . - Calcular o coeficiente angular da tangente a
no ponto . - Calcular o coeficiente angular da tangente a
no ponto , com qualquer.
Também note que
representa um pequeno incremento no argumento
; ao calcular a secante devemos ter
(para evitar divisão por zero).
Passo 2
Definição prática do coeficiente angular da secante entre
e
: é a razão das diferenças das ordenadas pela diferença das abscissas, isto é a diferença quociente
Vamos calcular cada termo. Primeiro
e sabemos
. Substituindo na diferença quociente:
Agora simplificamos (lembrando que aqui usamos
):
Portanto, o coeficiente angular da secante é
.
Passo 3
Entendendo a tangente via limite (a ideia que você precisa dominar para a prova): o coeficiente angular da tangente em um ponto
é o limite da diferença quociente quando o incremento tende a zero. Em notação geral, para
diferenciável,
Esse limite, se existir, é o declive da reta tangente no ponto
. Então, para obter o coeficiente angular da tangente em um ponto, calcule o quociente incremental e faça
.
Passo 4
Aplicando a ideia do Passo 3 ao ponto
: já encontramos a expressão do quociente incremental entre
e
, é
. Agora tomamos o limite quando
:
Assim, o coeficiente angular da tangente a
no ponto
é
.
Passo 5
Agora o caso geral: coeficiente angular da tangente em
. Repetimos o procedimento com
. O quociente incremental é
Simplificando (para
):
Tomando o limite
para obter o declive da tangente:
Portanto, o coeficiente angular da tangente em
é
. Observação prática: isso mostra a derivada de
é
, que é uma ferramenta rápida para a prova.
Passo 6
Dica rápida de exame: para funções polinomiais simples use sempre o quociente incremental e simplifique cancelando o fator
(ou
), depois faça o limite. Com prática isso vira automático; por exemplo, para
a tangente tem declive
. Você consegue aplicar o mesmo padrão para outras potências
.
Resposta
Coeficiente angular da secante:
Coeficiente angular da tangente em :
Coeficiente angular da tangente em :
Coeficiente angular da tangente em
Coeficiente angular da tangente em