Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=1+e^{y-x+5})

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = 1 + e^y - x + 5
usando uma substituição apropriada. Observamos que o termo no expoente é y - x, então vamos definir
u = y - x
para tentar tornar a equação separável.

Passo 2

Com u = y - x, temos
dudx = ddx(y - x) = dydx - 1
Substituindo dydx da equação original, obtemos
dudx = l(1 + e^y - x + 5r) - 1 = e^u + 5

Passo 3

Agora a equação em u é separável:
dudx = e^5 , e^u
Separamos as variáveis escrevendo
e^-u,du = e^5,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^-u,du = integral e^5,dx Longrightarrow -,e^-u = e^5,x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos e^-u:
e^-u = -,l(e^5,x + Cr) = C1 - e^5,x,
com C1 = -C. Em seguida, voltamos à variável original y, lembrando que u = y - x:
e^-(y - x) = C1 - e^5,x Longrightarrow e^x - y = C1 - e^5,x

Passo 6

Tomando logaritmo, chega-se à solução geral para y:
x - y = lnl(C1 - e^5,xr) Longrightarrow y(x) = x - lnl(C1 - e^5,xr),
onde C1 é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x ;-;lnl(C - e^5xr),
com C constante de integração.

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