Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=1+e^{y-x+5})
(\frac{d y}{d x}=1+e^{y-x+5})
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando uma substituição apropriada. Observamos que o termo no expoente é
, então vamos definir
para tentar tornar a equação separável.
Passo 2
Com
, temos
Substituindo
da equação original, obtemos
Passo 3
Agora a equação em
é separável:
Separamos as variáveis escrevendo
Passo 4
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolamos
:
com
. Em seguida, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Passo 6
Tomando logaritmo, chega-se à solução geral para
:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
com
constante de integração.