Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:
f) x^7+x^5+1=0

Passo 1

A equação dada é x^7 + x^5 + 1 = 0. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que nos permite garantir a existência de raízes reais em funções contínuas ao identificar uma mudança de sinal em um intervalo.

Passo 2

Definimos a função f(x) = x^7 + x^5 + 1. Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo R, então o TVI se aplica: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 3

Calculamos sinais em pontos convenientes. Em x = -1:
f(-1) = (-1)^7 + (-1)^5 + 1 = -1 - 1 + 1 = -1 < 0
Em x = 0:
f(0) = 0^7 + 0^5 + 1 = 1 > 0

Passo 4

Como f(-1) < 0 e f(0) > 0, há mudança de sinal no intervalo [-1,0]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um cin(-1,0) tal que f(c)=0.

Resposta

A equação admite pelo menos uma raiz real no intervalo (-1,0).

Exercícios relacionados