Considere a curva dada por
x(t)=t-\frac{t^{3}}{3}, \quad y(t)=t^{2}, \quad 0 \leq t \leq 3 .
(a) Mostre que a curva tem exatamente uma tangente horizontal e determine em qual ponto ocorre. (R: Ponto (0,0) para t=0.)
(b) Calcule o comprimento da curva em 0 \leq t \leq 3. ( \mathrm{R}: L=12 )
(c) Mostre que a curva tem auto intersecção em t=-\sqrt{3} e t=\sqrt{3}. (R: Ponto de intersecção é (0,3).)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=t-\frac{t^{3}}{3},\qquad y(t)=t^{2},
com domínio indicado 0\le t\le 3. Ele faz três perguntas:
(a) Mostrar que a curva tem exatamente uma tangente horizontal e determinar em qual ponto ela ocorre.
(b) Calcular o comprimento da curva para 0\le t\le 3.
(c) Mostrar que a curva tem auto-intersecção em t=-\sqrt{3} e t=\sqrt{3} e determinar o ponto de intersecção.

Passo 2

Para (a) — entendendo o que é “tangente horizontal”. Para uma curva paramétrica, a inclinação da reta tangente é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0. Uma tangente é horizontal quando a inclinação \dfrac{dy}{dx} é zero, isto é, quando \dfrac{dy}{dt}=0 (e simultaneamente \dfrac{dx}{dt}\neq 0). Aqui \dfrac{dy}{dt} e \dfrac{dx}{dt} significam as derivadas de y e x em relação ao parâmetro t, respectivamente.

Passo 3

Calcule as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=1-t^{2},\qquad \frac{dy}{dt}=2t.
Para ter tangente horizontal precisamos de \dfrac{dy}{dt}=0, portanto
2t=0 \quad\Rightarrow\quad t=0.
Verificamos \dfrac{dx}{dt} em t=0:
\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=1-0^{2}=1\neq 0,
logo em t=0 a inclinação \dfrac{dy}{dx}=0 é bem definida — é uma tangente horizontal. Não há outro t em [0,3] que anule 2t, portanto é exatamente uma tangente horizontal no intervalo dado.

Passo 4

Determine o ponto correspondente a t=0. Avaliando as funções:
x(0)=0-\frac{0^{3}}{3}=0,\qquad y(0)=0^{2}=0.
Portanto a tangente horizontal ocorre no ponto (0,0) quando t=0.

Passo 5

Para (b) — fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se uma curva é dada por \;x(t),y(t)\; para t em [a,b], seu comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
Aqui \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2} é a soma dos quadrados das taxas de variação das coordenadas — geometricamente isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao pequeno deslocamento infinitesimal da curva.

Passo 6

Usando as derivadas já calculadas \dfrac{dx}{dt}=1-t^{2} e \dfrac{dy}{dt}=2t, o integrando fica
\sqrt{(1-t^{2})^{2}+(2t)^{2}}.
Expandimos e simplificamos dentro da raiz:
(1-t^{2})^{2}+(2t)^{2}=1-2t^{2}+t^{4}+4t^{2}=1+2t^{2}+t^{4}=(1+t^{2})^{2}.
Portanto o integrando é
\sqrt{(1+t^{2})^{2}}=|1+t^{2}|.
Como 1+t^{2}\ge 1>0 para todo t, temos |1+t^{2}|=1+t^{2}. Assim o comprimento para 0\le t\le 3 é
L=\int_{0}^{3}(1+t^{2})\,dt.

Passo 7

Calcule a integral:
\int_{0}^{3}(1+t^{2})\,dt=\left[t+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\left(3+\frac{27}{3}\right)-0=3+9=12.
Logo o comprimento da curva em 0\le t\le 3 é 12.

Passo 8

Para (c) — entender o que é auto-intersecção. A curva tem auto-intersecção se existem t_{1}\neq t_{2} tais que
x(t_{1})=x(t_{2})\quad\text{e}\quad y(t_{1})=y(t_{2}).
Aqui y(t)=t^{2}. Se y(t_{1})=y(t_{2}) então t_{1}^{2}=t_{2}^{2}, o que implica t_{2}=\pm t_{1}. A igualdade trivial t_{2}=t_{1} dá o mesmo ponto, então buscamos a possibilidade não trivial t_{2}=-t_{1} com t_{1}\neq 0.

Passo 9

Impondo x(t)=x(-t) para algum t\neq 0, use x(t)=t-\dfrac{t^{3}}{3}. Temos
x(-t)=-t-\frac{(-t)^{3}}{3}=-t+\frac{t^{3}}{3}=-\left(t-\frac{t^{3}}{3}\right)=-x(t).
Assim x(t)=x(-t) implica x(t)=-x(t), ou seja x(t)=0. Resolva x(t)=0:
t-\frac{t^{3}}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad t\left(1-\frac{t^{2}}{3}\right)=0.
As soluções são t=0 ou 1-\dfrac{t^{2}}{3}=0, isto é t^{2}=3, dando t=\pm\sqrt{3}.

Passo 10

Descartando t=0 (que dá a mesma parametrização), as soluções não triviais são t=\sqrt{3} e t=-\sqrt{3}. Os pontos correspondentes têm coordenadas
x\bigl(\pm\sqrt{3}\bigr)=0,\qquad y\bigl(\pm\sqrt{3}\bigr)=(\pm\sqrt{3})^{2}=3.
Portanto a auto-intersecção ocorre no ponto (0,3), atingido para t=-\sqrt{3} e t=\sqrt{3}. (Observação: estes parâmetros incluem um valor negativo, então se a curva for apenas considerada no intervalo 0\le t\le 3 só o parâmetro t=\sqrt{3} está dentro — a auto-intersecção aparece quando se permite os dois sinais do parâmetro, por exemplo tomando a parametrização para t em \mathbb{R}.)

Resposta

(a) (0,0) para t=0.
(b) L=12.
(c) (0,3) para t=-\sqrt{3} e t=\sqrt{3}.

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