Seja \theta=45^{\circ} (ou \pi / 4 \mathrm{rad} ) o ângulo entre os vetores \vec{a}=\langle 2,2,0\rangle e \vec{b}=\langle 1, x, 2\rangle.
(a) Obtenha x no vetor \vec{b} \cdot(\mathrm{R}: x=2)
(b) Encontre o vetor projeção \operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{b}. (R: \operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{b}=\left\langle\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right\rangle )
(c) Calcule a área do paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}. (R: Área =6)
Passo 1
O enunciado dá: \theta=45^\circ (ou \pi/4 rad) é o ângulo entre os vetores \vec{a}=\langle 2,2,0\rangle e \vec{b}=\langle 1,x,2\rangle.
Perguntas:
(a) Determinar x.
(b) Calcular \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}.
(c) Calcular a área do paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \vec{a}=\langle 2,2,0\rangle, \vec{b}=\langle 1,x,2\rangle, \theta=45^\circ. As respostas pedidas são x, o vetor projeção de \vec{b} sobre \vec{a} e a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}.
Passo 2
Conceito chave para (a): a relação entre produto escalar e ângulo.
A fórmula é
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar, |\vec{a}| é a norma (comprimento) de \vec{a}, |\vec{b}| a norma de \vec{b} e \theta o ângulo entre eles. Vou explicar cada termo na prática a seguir.
Passo 3
Calcular cada termo com os vetores dados.
Produto escalar:
\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot 2 = 2+2x.
Simplifico o fator (2\sqrt{2})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}. Como \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, obtemos
(2\sqrt{2})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2.
Logo a equação vira
2+2x = 2\sqrt{5+x^2}.
Dividindo por 2:
1+x=\sqrt{5+x^2}.
Passo 5
Resolver a equação (1+x)=\sqrt{5+x^2}. Como o lado direito é não negativo, precisamos de 1+x\ge 0, o que dá x\ge -1. Agora elevamos os dois lados ao quadrado (cuidado: pode introduzir soluções extraviadas, por isso checamos depois):
Explicando: \vec{a}\cdot\vec{b} dá a componente escalar de \vec{b} ao longo de \vec{a} vezes |\vec{a}|; dividir por \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 normaliza esse fator e multiplicar por \vec{a} devolve o vetor na direção de \vec{a}.