Seja \theta=45^{\circ} (ou \pi / 4 \mathrm{rad} ) o ângulo entre os vetores \vec{a}=\langle 2,2,0\rangle e \vec{b}=\langle 1, x, 2\rangle.
(a) Obtenha x no vetor \vec{b} \cdot(\mathrm{R}: x=2)
(b) Encontre o vetor projeção \operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{b}. (R: \operatorname{proj}_{\vec{a}} \vec{b}=\left\langle\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right\rangle )
(c) Calcule a área do paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}. (R: Área =6)

Passo 1

O enunciado dá:
\theta=45^\circ (ou \pi/4 rad) é o ângulo entre os vetores \vec{a}=\langle 2,2,0\rangle e \vec{b}=\langle 1,x,2\rangle.
Perguntas:
(a) Determinar x.
(b) Calcular \operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}.
(c) Calcular a área do paralelogramo determinado por \vec{a} e \vec{b}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\vec{a}=\langle 2,2,0\rangle, \vec{b}=\langle 1,x,2\rangle, \theta=45^\circ. As respostas pedidas são x, o vetor projeção de \vec{b} sobre \vec{a} e a área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}.

Passo 2

Conceito chave para (a): a relação entre produto escalar e ângulo.
A fórmula é
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar, |\vec{a}| é a norma (comprimento) de \vec{a}, |\vec{b}| a norma de \vec{b} e \theta o ângulo entre eles. Vou explicar cada termo na prática a seguir.

Passo 3

Calcular cada termo com os vetores dados.
Produto escalar:
\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot 2 = 2+2x.
Norma de \vec{a}:
|\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2+0^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Norma de \vec{b}:
|\vec{b}|=\sqrt{1^2+x^2+2^2}=\sqrt{1+x^2+4}=\sqrt{5+x^2}.
Cosseno do ângulo \theta=45^\circ:
\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta:
2+2x = (2\sqrt{2})\cdot\sqrt{5+x^2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Simplifico o fator (2\sqrt{2})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}. Como \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, obtemos
(2\sqrt{2})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2.
Logo a equação vira
2+2x = 2\sqrt{5+x^2}.
Dividindo por 2:
1+x=\sqrt{5+x^2}.

Passo 5

Resolver a equação (1+x)=\sqrt{5+x^2}. Como o lado direito é não negativo, precisamos de 1+x\ge 0, o que dá x\ge -1. Agora elevamos os dois lados ao quadrado (cuidado: pode introduzir soluções extraviadas, por isso checamos depois):
(1+x)^2 = 5+x^2.
Expandindo o lado esquerdo:
1+2x+x^2=5+x^2.
Cancelo x^2 dos dois lados:
1+2x=5 \quad\Rightarrow\quad 2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Verificação rápida: 1+x=3\ge0 e \sqrt{5+x^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3, então a igualdade se mantém. Portanto a solução válida é x=2.

Passo 6

Agora (b): fórmula da projeção vetorial. A projeção de \vec{b} sobre \vec{a} é o vetor
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\,\vec{a}.
Explicando: \vec{a}\cdot\vec{b} dá a componente escalar de \vec{b} ao longo de \vec{a} vezes |\vec{a}|; dividir por \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 normaliza esse fator e multiplicar por \vec{a} devolve o vetor na direção de \vec{a}.

Passo 7

Usando x=2, temos \vec{b}=\langle 1,2,2\rangle.
Calculo \vec{a}\cdot\vec{b}:
\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot1+2\cdot2+0\cdot2=2+4=6.
Calculo \vec{a}\cdot\vec{a}:
\vec{a}\cdot\vec{a}=2^2+2^2+0^2=4+4=8.
Portanto o fator escalar é \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}. Multiplicando por \vec{a}=\langle 2,2,0\rangle:
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\frac{3}{4}\langle 2,2,0\rangle=\left\langle \frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right\rangle.

Passo 8

Agora (c): área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}.
Conceito: a área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial,
\text{Área}=|\vec{a}\times\vec{b}|.Á
O vetor \vec{a}\times\vec{b} é perpendicular a ambos e seu módulo é |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta, que geometricamente é a área do paralelogramo.

Passo 9

Calcular \vec{a}\times\vec{b} com \vec{a}=\langle 2,2,0\rangle e \vec{b}=\langle 1,2,2\rangle. Usando a regra do determinante:
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 2 & 0 \\\\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} =\langle 2\cdot 2 - 0\cdot 2,\; -(2\cdot 2 - 0\cdot 1),\; 2\cdot 2 - 2\cdot 1\rangle.
Isso dá
\vec{a}\times\vec{b}=\langle 4,-4,2\rangle.
Agora o módulo:
|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6.
Portanto a área do paralelogramo é 6.

Resposta

x=2
\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}=\left\langle\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right\rangle
\text{Área}=6Á

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