Considere os pontos A(1,2,1), B(0,-1,3), C(2,0,-1) e D(k, 1,0). Qual o valor de k para que os quatro pontos sejam coplanares, ou seja, pertençam ao mesmo plano? ( R : k=3 / 2.)
A pergunta é: qual o valor de k para que os quatro pontos sejam coplanares (pertencem a um mesmo plano)?\n
Informações relevantes que temos: as coordenadas dos quatro pontos e que devemos achar k que garante coplanaridade.
Passo 2
Ideia-chave usada aqui (explicação didática): três vetores são coplanares se e somente se o produto misto (também chamado de produto triple escalar) entre eles é zero. O produto misto de três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é um número dado por
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}),
que geometricamente corresponde ao volume orientado do paralelepípedo gerado por esses vetores. Se esse volume for zero, os vetores (e portanto os pontos que deles partem) estão no mesmo plano. Vou aplicar isso aos vetores que saem de A para os outros pontos: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}.
Na prática isso equivale ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas desses vetores ser igual a zero. Escrevendo a matriz com as coordenadas na forma de linhas:
Podemos checar que esse vetor é combinação linear de \overrightarrow{AB}=(-1,-3,2) e \overrightarrow{AC}=(1,-2,-2) (ou que o determinante com esse k é zero). Já calculámos o determinante e obtivemos zero para esse k, então a verificação está coerente.