Considere os pontos A(1,2,1), B(0,-1,3), C(2,0,-1) e D(k, 1,0). Qual o valor de k para que os quatro pontos sejam coplanares, ou seja, pertençam ao mesmo plano? ( R : k=3 / 2.)

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço:
A(1,2,1),\quad B(0,-1,3),\quad C(2,0,-1),\quad D(k,1,0).
A pergunta é: qual o valor de k para que os quatro pontos sejam coplanares (pertencem a um mesmo plano)?\n
Informações relevantes que temos: as coordenadas dos quatro pontos e que devemos achar k que garante coplanaridade.

Passo 2

Ideia-chave usada aqui (explicação didática): três vetores são coplanares se e somente se o produto misto (também chamado de produto triple escalar) entre eles é zero. O produto misto de três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é um número dado por
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}),
que geometricamente corresponde ao volume orientado do paralelepípedo gerado por esses vetores. Se esse volume for zero, os vetores (e portanto os pontos que deles partem) estão no mesmo plano. Vou aplicar isso aos vetores que saem de A para os outros pontos: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}.

Passo 3

Calculemos os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,\,-1-2,\,3-1)=(-1,-3,2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(2-1,\,0-2,\,-1-1)=(1,-2,-2),
\overrightarrow{AD}=D-A=(k-1,\,1-2,\,0-1)=(k-1,-1,-1).
Expliquei passo a passo: subtraí coordenada a coordenada do ponto de chegada menos o ponto de partida A.

Passo 4

Agora a condição de coplanaridade é que o produto misto seja zero:
\overrightarrow{AB}\cdot\big(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\big)=0.
Na prática isso equivale ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas desses vetores ser igual a zero. Escrevendo a matriz com as coordenadas na forma de linhas:
\begin{vmatrix} -1 & -3 & 2\\[4pt] 1 & -2 & -2\\[4pt] k-1 & -1 & -1 \end{vmatrix}=0.
Vou calcular esse determinante passo a passo.]

Passo 5

Calculemos o determinante por expansão na primeira linha (uso cofatores). Denote os menores:
M_{11}=\begin{vmatrix}-2 & -2\\\\ -1 & -1\end{vmatrix},\quad M_{12}=\begin{vmatrix}1 & -2\\\ k-1 & -1\end{vmatrix},\quad M_{13}=\begin{vmatrix}1 & -2\\\ k-1 & -1\end{vmatrix}.
Observação: aqui M_{12} e M_{13} coincidem porque, nas linhas 2 e 3, as 2ª e 3ª colunas são iguais ( -2,-1 e -2,-1). Agora calculemos cada menor:
M_{11}=(-2)\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1)=2-2=0,
M_{12}=1\cdot(-1)-(-2)\cdot(k-1)=-1+2(k-1)=2k-3.
Como M_{13}=M_{12}, temos M_{13}=2k-3.

Passo 6

Usando os cofatores (sinais +,-,+ na primeira linha) e os elementos da primeira linha (-1,\,-3,\,2), o determinante é
(-1)\cdot M_{11} -(-3)\cdot M_{12} + 2\cdot M_{13}.
Substituindo os valores:
(-1)\cdot 0 -(-3)\cdot(2k-3) + 2\cdot(2k-3).
Simplificando passo a passo:
0 + 3(2k-3) + 2(2k-3) = (3+2)(2k-3)=5(2k-3).
Portanto o determinante vale 5(2k-3).

Passo 7

A condição de coplanaridade é determinante igual a zero, então
5(2k-3)=0.
Dividindo por 5 (não muda a solução),
2k-3=0.
Resolvendo para k:
2k=3\quad\Rightarrow\quad k=\frac{3}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (bom hábito): substituindo k=\frac{3}{2} em \overrightarrow{AD}=(k-1,-1,-1)
\overrightarrow{AD}=\left(\frac{3}{2}-1,\,-1,\,-1\right)=\left(\frac{1}{2},-1,-1\right).
Podemos checar que esse vetor é combinação linear de \overrightarrow{AB}=(-1,-3,2) e \overrightarrow{AC}=(1,-2,-2) (ou que o determinante com esse k é zero). Já calculámos o determinante e obtivemos zero para esse k, então a verificação está coerente.

Resposta

k=\dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados