Determine o comprimento da curva C definida pela função vetorial r:[0,1] V3 onde
r(t)=lang<= 1, t^2, t^3rang<=

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o comprimento da curva C, definida por r(t)=<1, t², t³> no intervalo t∈[0,1]. O conteúdo aqui é comprimento de curva (arco de curva) e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^b l|r'(t)r|,dt
onde r’(t) é a derivada da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada r’(t) componente a componente. Para r(t)=<1, t², t³> temos
r'(t)=llang<=0,,2t,,3t^2rrang<=
A ideia é derivar cada coordenada separadamente.

Passo 3

Em seguida, achamos a norma de r’(t). A norma de um vetor <v₁,v₂,v₃> é raizv₁^2+v₂^2+v₃^2. Logo,
|r'(t)|=raiz0^2+(2t)^2+(3t^2)^2=raiz4t^2+9t^4=traiz4+9t^2

Passo 4

Agora montamos o integral do comprimento, substituindo |r'(t)| na fórmula:
L=integral0^1 traiz4+9t^2,dt

Passo 5

Para resolver, usamos a substituição
$$u=4+9t^2,\quad du=18t,dt\implies t,dt=\frac{du}{18}.
u=4+9t^2, du=18t,dtimplies t,dt=du18 L=\int_{u=4}^{13} \sqrt{u};\frac{du}{18}=\frac{1}{18}\int_4^{13} u{1/2},du=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}u{3/2}\Big|_4{13}=\frac{1}{27}\bigl(u{3/2}\bigr)\Big|_4^{13}.$$
Substituindo os limites,
$$L=\frac{1}{27}\bigl(13{3/2}-4{3/2}\bigr)=\frac{1}{27}\bigl(13\sqrt{13}-8\bigr).
$$

Resposta

L=127l(13raiz13-8r)

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