Determine o comprimento da curva definida pela função vetorial onde
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar o comprimento da curva C, definida por r(t)=<1, t², t³> no intervalo t∈[0,1]. O conteúdo aqui é comprimento de curva (arco de curva) e vamos precisar usar a fórmula
onde r’(t) é a derivada da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada r’(t) componente a componente. Para r(t)=<1, t², t³> temos
r'(t)=llang<=0,,2t,,3t^2rrang<=
A ideia é derivar cada coordenada separadamente.
Passo 3
Em seguida, achamos a norma de r’(t). A norma de um vetor <v₁,v₂,v₃> é raizv₁^2+v₂^2+v₃^2₁₂₃. Logo,