Considere a curva definida por
Encontre:
A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
.
A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
Passo 1
A questão pede a área da superfície gerada pela rotação da curva paramétrica em torno do eixo x. Esse é um problema de superfície de revolução: vamos usar a fórmula
onde precisaremos de
,
e do elemento de arco
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 3
Agora, obtemos o elemento de arco:
e portanto
Passo 4
Expressamos
em funções de meia-ângulo. Sabendo que
e
, temos
Passo 5
Montamos a integral da área de superfície:
Usamos a substituição
, de modo que
e os limites vão de 0 a 1. Assim,
Passo 6
Finalmente, calculamos a integral de potências: