Considere a curva definida por
l x(t)=2 cos (t)-cos (2 t) y(t)=2 sin (t)-sin (2 t), 0 <= t <= pi
Encontre:
A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x.

Passo 1

A questão pede a área da superfície gerada pela rotação da curva paramétrica em torno do eixo x. Esse é um problema de superfície de revolução: vamos usar a fórmula
S=2piintegral0^piy(t)raizx'(t)^2+y'(t)^2,dt
onde precisaremos de x'(t), y'(t) e do elemento de arco ds=raizx'^2+y'^2,dt.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas:
x'(t)=-2sin t+2sin2t, y'(t)=2cos t-2cos2t

Passo 3

Agora, obtemos o elemento de arco:
x'(t)^2+y'(t)^2=16sin^2l(tfrac t2r)
e portanto
ds=4sinl(tfrac t2r),dt

Passo 4

Expressamos y(t) em funções de meia-ângulo. Sabendo que sin2t=2sin tcos t e 1-cos t=2sin^2(t/2), temos
y(t)=2sin t-sin2t=2sin tl(1-cos tr)=8sin^3l(tfrac t2r)cosl(tfrac t2r)

Passo 5

Montamos a integral da área de superfície:
S=2piintegral0^pi y(t),ds =2piintegral0^pi 8sin^3l(tfrac t2r)cosl(tfrac t2r)times4sinl(tfrac t2r),dt =64piintegral0^pisin^4l(tfrac t2r)cosl(tfrac t2r),dt
Usamos a substituição u=sin(t/2), de modo que du=tfrac12cos(t/2),dt e os limites vão de 0 a 1. Assim,
S=64piintegral0^pisin^4l(tfrac t2r)cosl(tfrac t2r),dt =128piintegral0^1u^4,du

Passo 6

Finalmente, calculamos a integral de potências:
128piintegral0^1u^4,du=128pil[u^55r]0^1=128pi5

Resposta

128pi5.

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