Considere a solução geral para equação do calor unidimensional (condução de calor em uma barra isolada)
no caso onde a temperatura em ambos os extremos das barra são mantidas a zero graus. Considere que o comprimento da barra é igual a 2 e que a difusividade térmica é igual
.Encontre a solução particular se o perfil inicial da barra é dado por
Dica:
Passo 1
Estamos diante da equação do calor
num bastão de comprimento
com condições de contorno
e difusividade térmica
. O perfil inicial é
com
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de senos.
Passo 2
Pela separação de variáveis a solução satisfaz as condições homogêneas de contorno e vem na forma
onde
. Como
e
, temos
.
Passo 3
Os coeficientes
vêm da expansão de
em senos:
Aqui
, logo
Passo 4
Como
em
, só integramos de 1 a 2:
Calculando:
Passo 5
Portanto
Para
ímpar,
e
, resultando
Para
par,
e
, dando
Passo 6
Com esses
, a solução particular fica
onde
é o coeficiente calculado acima.