Considere a solução geral para equação do calor unidimensional (condução de calor em uma barra isolada)
partial Tpartial t=alpha partial^2 Tpartial x^2
no caso onde a temperatura em ambos os extremos das barra são mantidas a zero graus. Considere que o comprimento da barra é igual a 2 e que a difusividade térmica é igual alpha=1.Encontre a solução particular se o perfil inicial da barra é dado por
f(x)= 0 & se 0
Dica:
T(x, t)=sumn=1^infty an sen(lambdan x) e^-alpha lambdan^2 t an=2L integral0^L f(x) sen(lambdan x) d x, lambdan=n piL

Passo 1

Estamos diante da equação do calor partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 num bastão de comprimento L=2 com condições de contorno T(0,t)=T(2,t)=0 e difusividade térmica alpha=1. O perfil inicial é T(x,0)=f(x) com
f(x)=0,&0
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de senos.

Passo 2

Pela separação de variáveis a solução satisfaz as condições homogêneas de contorno e vem na forma
T(x,t)=sumn=1^inftyansin(lambdan x)e^-alphalambdan^2 t,
onde lambdan=npiL. Como L=2 e alpha=1, temos lambdan=tfracnpi2.

Passo 3

Os coeficientes an vêm da expansão de f(x) em senos:
an=2Lintegral0^L f(x)sin(lambdan x),dx
Aqui tfrac2L=1, logo
an=integral0^2 f(x)sinl(tfracnpi2xr),dx

Passo 4

Como f(x)=0 em [0,1], só integramos de 1 a 2:
an=integral1^2sinl(tfracnpi2xr),dx
Calculando:
integral1^2sinl(tfracnpi2xr)dx=-2npil[cos(tfracnpi2x)r]1^2=2npil(cos(tfracnpi2)-(-1)^nr)

Passo 5

Portanto
an=2npil(cos(tfracnpi2)-(-1)^nr)
Para n=2k+1 ímpar, cos((2k+1)tfracpi2)=0 e (-1)^2k+1=-1, resultando
a2k+1=2(2k+1)pi
Para n=2k par, cos(kpi)=(-1)^k e (-1)^2k=1, dando
a2k=1kpil((-1)^k-1r)

Passo 6

Com esses an, a solução particular fica
T(x,t)=sumn=1^inftyansinl(tfracnpi2xr)e^-l(tfracnpi2r)^2t,
onde an é o coeficiente calculado acima.

Resposta

T(x,t)=sumn=1^infty2npil(cos(tfracnpi2)-(-1)^nr)sinl(tfracnpi2xr)e^-l(tfracnpi2r)^2t

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