Qual o centróide da região plana A=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 5 e 0 <= y <= raiz25-x^2 ?
(a) (10 pi3, 10 pi3)
(b) (4pi, 4pi)
© (245 pi, 245 pi)
(d) (203 pi, 203 pi)
(e) (8 pi, 8 pi)

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região A = { (x,y): 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ √(25−x²) }, que é exatamente um quarto de disco de raio R = 5 no primeiro quadrante. O conteúdo é centróide de uma lâmina plana, e vamos precisar das fórmulas
bar x = dfrac1Aintegral duplaA x,dA e
bar y = dfrac1Aintegral duplaA y,dA.

Passo 2

Primeiro, achamos a área A do quarto de disco de raio 5 usando a área do círculo inteira A₀ = πR² e dividindo por 4:
A = pi R^24 = pi cdot 5^24 = 25pi4

Passo 3

Agora calculamos bar x. O numerador é
integral duplaA x,dA = integralx=0^5!integraly=0^raiz25-x^2 x,dy,dx = integral0^5 xl[ yr]0^raiz25-x^2dx = integral0^5 xraiz25-x^2,dx
Fazendo a substituição u = 25−x², du = −2x dx, obtemos
integral0^5 xraiz25-x^2,dx = R^33 = 5^33 = 1253
Então
bar x = 1Aintegral duplaA x,dA = 1tfrac25pi4 cdot 1253 = 1253 cdot 425pi = 203pi

Passo 4

Pela simetria da região (é um quarto de disco), temos bar y = bar x. Portanto o centróide é dado por

Resposta

l(tfrac203pi,,tfrac203pir)

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