Qual o centróide da região plana
e
?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede o centróide da região A = { (x,y): 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ √(25−x²) }, que é exatamente um quarto de disco de raio R = 5 no primeiro quadrante. O conteúdo é centróide de uma lâmina plana, e vamos precisar das fórmulas
e
.
Passo 2
Primeiro, achamos a área A do quarto de disco de raio 5 usando a área do círculo inteira A₀ = πR² e dividindo por 4:
Passo 3
Agora calculamos
. O numerador é
Fazendo a substituição u = 25−x², du = −2x dx, obtemos
Então
Passo 4
Pela simetria da região (é um quarto de disco), temos
. Portanto o centróide é dado por