Considere a curva definida por
l x(t)=2 cos (t)-cos (2 t) y(t)=2 sin (t)-sin (2 t), 0 <= t <= pi
Encontre:
O comprimento da curva.

Passo 1

O exercício define a curva paramétrica
x(t)=2\cos(t)-\cos(2t),
y(t)=2\sin(t)-\sin(2t), 0\le t\le\pi
e pede o comprimento de arco. Vamos usar a fórmula de comprimento de curva paramétrica: L=\int_a^b \sqrt{\bigl(x’(t)\bigr)2+\bigl(y’(t)\bigr)2},dt.

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas de x e y em relação a t:
x’(t)=\frac{d}{dt}[2\cos t-\cos(2t)]=-2\sin t+2\sin(2t),
y’(t)=\frac{d}{dt}[2\sin t-\sin(2t)]=2\cos t-2\cos(2t).

Passo 3

Para simplificar, vamos usar identidades trigonométricas:
\sin(2t)=2\sin t\cos t,\quad \cos(2t)=2\cos^2 t-1.
Então:
x’(t)=-2\sin t+4\sin t\cos t=2\sin t,(2\cos t-1),
y’(t)=2\cos t-2(2\cos^2 t-1)=2(-2\cos^2 t+\cos t+1).

Passo 4

Agora o quadrado da velocidade é
(x')^2+(y')^2=4sin^2 t,(2cos t-1)^2+4(-2cos^2 t+cos t+1)^2
Chamando u=\cos t, nota-se que -2u^2+u+1=(2u+1)(1-u) e que o somatório simplifica de forma surpreendente a
4l[sin^2 t,(2u-1)^2+((2u+1)(1-u))^2r] =4cdot2(1-u)=8(1-cos t)

Passo 5

Portanto a velocidade é
raiz(x')^2+(y')^2=raiz8(1-cos t)=raiz16sin^2(tfrac t2)=4sinl(tfrac t2r)
(pois em 0\le t\le\pi temos \sin(t/2)\ge0).

Passo 6

O comprimento da curva é
L=integral0^pi4sinl(tfrac t2r),dt
Fazendo u= t/2, dt=2,du, os limites vão de u=0 até u=\pi/2, obtemos
L=4cdot2integral0^pi/2sin(u),du=8[-cos u]0^pi/2=8(1)=8

Passo 7

Logo, o comprimento da curva é 8.

Resposta

8

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