Considere a curva definida por
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O comprimento da curva.
O comprimento da curva.
Passo 1
O exercício define a curva paramétrica
x(t)=2\cos(t)-\cos(2t),
y(t)=2\sin(t)-\sin(2t), 0\le t\le\pi
e pede o comprimento de arco. Vamos usar a fórmula de comprimento de curva paramétrica: L=\int_a^b \sqrt{\bigl(x’(t)\bigr)2+\bigl(y’(t)\bigr)2},dt.
Passo 2
Primeiro calculemos as derivadas de x e y em relação a t:
x’(t)=\frac{d}{dt}[2\cos t-\cos(2t)]=-2\sin t+2\sin(2t),
y’(t)=\frac{d}{dt}[2\sin t-\sin(2t)]=2\cos t-2\cos(2t).
Passo 3
Para simplificar, vamos usar identidades trigonométricas:
\sin(2t)=2\sin t\cos t,\quad \cos(2t)=2\cos^2 t-1.
Então:
x’(t)=-2\sin t+4\sin t\cos t=2\sin t,(2\cos t-1),
y’(t)=2\cos t-2(2\cos^2 t-1)=2(-2\cos^2 t+\cos t+1).
Passo 4
Agora o quadrado da velocidade é
Chamando u=\cos t, nota-se que -2u^2+u+1=(2u+1)(1-u) e que o somatório simplifica de forma surpreendente a
Passo 5
Portanto a velocidade é
(pois em 0\le t\le\pi temos \sin(t/2)\ge0).
Passo 6
O comprimento da curva é
Fazendo u= t/2, dt=2,du, os limites vão de u=0 até u=\pi/2, obtemos
Passo 7
Logo, o comprimento da curva é 8.
Resposta
8