Considere a espiral r=2 theta (dada em coordenadas polares).
Calcule o comprimento do trecho da espiral satisfazendo 0 <= theta <= 2.

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva da espiral r=2theta no intervalo 0<= theta<= 2. O conteúdo é cálculo de comprimento de curva em coordenadas polares e vamos usar a fórmula que dá o comprimento L em função de r(theta):
L=integrala^braizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Começamos encontrando a derivada de r(theta)=2theta. Temos
r'(theta)=drdtheta=2
Substituindo r e r' no integrando:
raizr^2+l(r'r)^2=raiz(2theta)^2+2^2=2raiztheta^2+1

Passo 3

Então o comprimento solicitado é
L=integral0^22raiztheta^2+1,dtheta =2integral0^2raiztheta^2+1,dtheta

Passo 4

Para resolver integralraiztheta^2+1,dtheta usamos a fórmula padrão
integralraiztheta^2+1,dtheta=theta2raiztheta^2+1+12lnl(theta+raiztheta^2+1r)+C
Multiplicando por 2 fica
2integralraiztheta^2+1,dtheta=thetaraiztheta^2+1+lnl(theta+raiztheta^2+1r)+C'

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva de 0 a 2:
L=l[2raiz5+ln(2+raiz5)r]-l[0+ln(1)r] =2raiz5+ln(2+raiz5)

Resposta

O comprimento do trecho da espiral de 0 a 2 é
2raiz5+lnl(2+raiz5r)

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