Seja alpha:[a, b] R^2 uma curva parametrizada regular de classe C^2 com alpha^prime(t)=1 para todo t in[a, b].
Mostre que a curvatura k é dada por k(t)=|alpha^prime prime(t)| para todo t in[a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva que é bem comportada (classe ) e que é parametrize de forma regular no intervalo . Além disso, a velocidade dessa curva, ou seja, , é sempre igual a 1. O que a gente precisa mostrar é que a curvatura dessa curva é simplesmente a norma da segunda derivada, . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e curvatura de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede o quão “curvante” ela está naquele ponto. Matemáticamente, para uma curva parametrizada por arc length (onde a velocidade é 1), a curvatura é dada pela norma da segunda derivada da posição em relação ao parâmetro.

Passo 3

Como nossa curva tem , isso significa que ela está parametrizada por comprimento de arco. Isso simplifica bastante as coisas, porque quando a curva é parametrizada por arc length, a fórmula da curvatura se torna mais direta.

Passo 4

A definição da curvatura para uma curva parametrizada por arc length k(s) = | d^2alphads^2 | é:
Mas como estamos usando como parâmetro e sabemos que , a derivada em relação a é a mesma que em relação a .

Passo 5

Portanto, podemos reescrever a definição da curvatura em termos de k(t) = | alpha''(t) | :
Isso mostra que a curvatura é exatamente a norma da segunda derivada da posição em relação a .

Resposta

A curvatura é dada por para todo .

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