Considere a curva definida por
.
Encontre uma expressão para a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto
por derivação implícita. Ou seja, encontre uma expressão para
.
ii) Em quais pontos dessa curva a inclinação da reta tangente é -1?
Encontre uma expressão para a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto
ii) Em quais pontos dessa curva a inclinação da reta tangente é -1?
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede duas coisas: (i) uma expressão para
via derivação implícita e (ii) os pontos dessa curva onde a inclinação da reta tangente é
.
Passo 2
Derivando ambos os lados de
em relação a
usamos a regra da cadeia:
e do outro lado
Logo obtemos a relação
Passo 3
Na curva original vale
, isto é,
ou seja
. Como neste caso
, não podemos dividir por
— esse fator anula-se na curva. Em vez disso simplificamos a própria equação definidora para
antes de derivar, pois
e
representam o mesmo conjunto de pontos.
Passo 4
Derivando diretamente a reta
em relação a
temos
Passo 5
Como a curva é exatamente a reta
, sua inclinação é constante e igual a
em todo ponto.
Resposta
(i)
(ii) A inclinação é em todos os pontos da curva, ou seja em
tais que
.
(ii) A inclinação é