Considere a curva definida por (x+y)^2=0.
Encontre uma expressão para a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto (x, y) por derivação implícita. Ou seja, encontre uma expressão para d yd x.
ii) Em quais pontos dessa curva a inclinação da reta tangente é -1?

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
(x+y)^2=0
e pede duas coisas: (i) uma expressão para dydx via derivação implícita e (ii) os pontos dessa curva onde a inclinação da reta tangente é -1.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
(x+y)^2=0
em relação a x usamos a regra da cadeia:
ddxl((x+y)^2r) =;2(x+y),ddx(x+y) =;2(x+y)l(1+tfracdydxr)
e do outro lado
ddx(0)=0
Logo obtemos a relação
2(x+y)l(1+tfracdydxr)=0

Passo 3

Na curva original vale (x+y)^2=0, isto é,
x+y=0,
ou seja y=-x. Como neste caso x+y=0, não podemos dividir por 2(x+y) — esse fator anula-se na curva. Em vez disso simplificamos a própria equação definidora para
y=-x
antes de derivar, pois (x+y)^2=0 e x+y=0 representam o mesmo conjunto de pontos.

Passo 4

Derivando diretamente a reta y=-x em relação a x temos
dydx=-1

Passo 5

Como a curva é exatamente a reta y=-x, sua inclinação é constante e igual a -1 em todo ponto.

Resposta

(i) dydx=-1
(ii) A inclinação é -1 em todos os pontos da curva, ou seja em l(x,yr) tais que y=-x.

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